Fandom

Coman Wiki

Vibraţiile unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Sistem oscilant cu un singur grad de libertate.png

Considerăm un sistem oscilant cu un singur grad de libertate format dintr-o masă m şi un element elastic (un arc) ca în figura 1.

Presupunem că asupra masei m, redusă la un punct material, acţionează o forţă perturbatoare F(t), care determină o deplasare pe orizontală notată cu x(t). În orice moment t al mişcării, punctul material se află în echilibru sub acţiunea următoarelor forţe: forţa elastică F_e, \! forţa de inerţie F_i = m \cdot \ddot x(t) \! şi forţa perturbatoare F(t) (fig. 2).

Aşadar avem:

Forta proportionala cu deplasarea.png
F_i + F_e = F(t). \!

Pentru deplasări mici, forţa elastică este proporţională cu deplasarea (legea lui Hooke). Deci

F_e  = k \cdot x(t), \!

unde k este coeficientul de rigiditate şi se defineşte ca fiind forţa necesară pentru a produce o deplasare unitară pe direcţia acestei forţe. Inversul coeficientului de rigiditate \delta = \frac 1 k \! se numeşte flexibilitatea elementului elastic.

Se obţine astfel următoarea ecuaţie diferenţială:

m \cdot \ddot x(t) + k \cdot x(t) = F(t). \!

Dacă presupunem, în plus, că există şi o forţă de frecare F_f, \! proporţională cu viteza de deplasare, F_f = c \cdot \dot x(t), \! atunci ecuaţia devine:

m \cdot \ddot x(t) + c \cdot \dot x(t) + k \cdot x(t) = F(t). \!   (1)

Constanta c se numeşte coeficient de amortizare vâscoasă.

În continuare, notăm cu \omega \! pulsaţia proprie a vibraţiei, care se defineşte prin \omega = \sqrt {\frac k m} \! şi cu \nu \! fracţiunea de amortizare critică, definită prin \nu = \frac {c}{2m \omega}. \!

Cu aceste notaţii ecuaţia (1) devine:

\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) = \frac {F(t)}{m}. \!   (2)

Ecuaţia (2) este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, cu coeficienţi constanţi, neomogenă. Ecuaţia omogenă asociată este:

\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) + \omega^2 x(t) =0. \!   (3)

şi modelează cazul vibraţiilor libere cu amortizare vâscoasă.

Ecuaţia caracteristică este:

r^2 + 2 \nu \omega r + \omega^2 =0. \!

şi admite soluţiile:

r_{1, 2} = - \nu \omega \pm i \omega \sqrt {1 - \nu^2}. \!

Dacă notăm cu \omega^* = \omega \sqrt {1- \nu^2}, \! atunci soluţia generală a ecuaţiei omogene (3), care corespunde vibraţiilor libere, se notează cu x_L (t) \! şi este:

x_L (t) = e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t). \!

Ecuaţia neomogenă (2) modelează cazul vibraţiilor forţate cu amortizare vâscoasă.

În continuare, vom presupune că forţa perturbatoare F(t) este de forma:

F(t) = \frac {F_0}{m} \sin \theta t, \!

unde F_0 \! este o constantă.

Ecuaţia neomogenă devine:

\ddot x(t) + 2 \nu \omega \dot x(t) + \omega^2 x(t) = \frac {F_0}{m} \cdot \sin \theta t. \!   (4)

Căutăm soluţia particulară a ecuaţiei neomogene, x_F (t) \! (corespunzătoare vibraţiilor forţate), de forma:

x_F (t) = A \sin \theta t + B \cos \theta t. \!   (5)

Punând condiţia ca soluţia (5) să verifice ecuaţia diferenţială (4), obţinem:

-A \theta^2 \sin  \theta t - B \theta^2 \cos \theta t + 2 \nu \omega (A \theta \cos \theta t - B \theta \sin \theta t) + \!
 + \omega^2 (A \sin \theta t + B \cos \theta t) = \frac {F_0}{m} \cdot \sin \theta t. \!

Identificând coeficienţii lui \sin \theta t \! şi \cos \theta t \! din cei doi membri, obţinem sistemul:


\begin{cases}
(\omega^2 - \theta^2) A - 2 \nu \omega \theta B = \frac {F_0}{m}
\\
2 \nu \omega \theta A + (\omega^2 - \theta^2) B = 0
\end{cases}
care admite soluţia:

A = \frac {\omega^2 - \theta^2}{(\omega^2 - \theta^2)^2 + 4 \nu^2 \omega^2 \theta^2} \cdot \frac {F_0}{m} \! şi B= \frac {-2 \nu \omega \theta}{(\omega^2 - \theta^2)^2 + 4 \nu^2 \omega^2 \theta^2} \cdot \frac {F_0}{m} . \!   (6)

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (4) este:

x(t) = x_L (t) + x_F (t) = e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t) + A \sin \theta t + B \cos \theta t. \!   (7)

Derivând (7), rezultă:

 \dot x(t) = -\nu \omega e^{- \nu \omega t} (C_1 \sin \omega^* t + C_2 \cos \omega^* t) + e^{- \nu \omega t} (\omega^* C_1 \cos \omega^* t - \omega^* C_2 \sin \omega^* t) +

+ A \theta \cos \theta t - B \theta \sin \theta t.\!

Vom determina soluţiile vibraţiilor stabilizate (staţionare), care corespund condiţiilor iniţiale:


\begin{cases}
x(0)=0
\\
\dot x(0) =0
\end{cases}
  (8)

Din condiţiile (8) deducem:

C_2 = -B \! şi C_1 = - \frac {\theta}{\omega^*}A - \frac {\nu \omega}{\omega^*}B. \!   (9)

Ţinând seama de (6) şi (9), obţinem:

x(t) = \frac {F_0}{m \omega^2 [(1 - (\frac {\theta}{\omega})^2)^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2]} \{e^{- \nu \omega t} [\frac {\theta}{\omega^*}(2 \nu^2 + (\frac {\theta}{\omega})^2 - 1 ) \sin \omega^* t + 2 \nu \frac {\theta}{\omega} \cos \omega^* t]+ \!

 + [\left (1 - ( \frac {\theta}{\omega})^2 \right ) \sin \theta t - 2 \nu \frac {\theta}{\omega} \cos \theta t] \}. \!   (10)

Fie

\alpha = \frac {\theta}{\omega^*} [2 \nu^2 + (\frac {\theta}{\omega})^2 - 1] \! şi \beta = 2 \nu \frac {\theta}{\omega} .\!   (11)

Observăm că expresia \alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t \! se poate prelucra astfel:

\alpha \sin \omega^* t+ \beta \cos \omega^* t= \alpha (\sin \omega^* t + \frac {\beta}{\alpha} \cos \omega^* t). \!

Fie  \phi = \arctan {\frac {\beta}{\alpha}}, \! deci \tan \phi = \frac {\beta}{\alpha}. \! Atunci avem:

\alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t = \alpha (\sin \omega^* t + \tan \phi \cos \omega^* t) =  \!

 = \frac {\alpha}{\cos \phi} (\sin \omega^* t \cos \phi + \sin \phi \cos \omega^* t) = \frac {\alpha}{\cos \phi} \sin (\omega^* t + \phi). \!

Pe de altă parte:

\frac {1}{\cos^2 \phi} = 1 + \tan^2 \phi = \frac {\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2}. \!

de unde deducem că:

 \alpha \sin \omega^* t + \beta \cos \omega^* t = \sqrt {\alpha^2+ \beta^2} \sin (\omega^* t + \phi).\!   (12)

Ţinând seama de (11), rezultă:

\alpha^2+ \beta^2 = \frac {\theta^2}{\omega^2 (1- \nu^2)} \left [(1 - (\frac {\theta}{\omega})^2)^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2 \right ] \!   (13)

Dacă notăm \gamma  = 1- (\frac {\theta}{\omega})^2 \! şi cu \delta  = - 2 \nu \frac {\theta}{\omega}, \! atunci

 \gamma^2 + \delta^2 = [1- (\frac {\theta}{\omega})^2]^2 + 4 \nu^2 (\frac {\theta}{\omega})^2 \!   (14)

şi aşa cum s-a arătat mai sus, avem:

\gamma \sin \theta t + \delta \cos \theta t = \sqrt {\gamma^2 + \delta^2} \sin (\theta t + \psi), \!   (15)

unde

\psi = \arctan \frac {\delta}{\gamma}. \!

Ţinând seama de (12), (13), (14), (15) în expresia soluţiei generale (10), rezultă:

x(t) = \frac {F_0 e^{- \nu \omega t}}{m \theta^2 \sqrt{1- \nu^2}} \cdot \left ( \frac {\theta}{\omega}  \right )^3  \mu^* \sin (\omega^* t + \phi) + \frac {F_0}{m \theta^2} \cdot \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \mu^* \sin (\theta t + \psi), \!   (16)

unde

\mu^* = \frac {1}{\sqrt{ \left ( 1 -  \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \!   (17)

reprezintă coeficientul dinamic sau factorul de amplificare.

În sfârşit, dacă notăm cu \lambda = \frac {F_0}{M \theta^2}, \! atunci soluţia căutată este:

x(t) = x_L(t) + x_F(t), \!

unde

x_L(t) = \frac {\lambda}{\sqrt{1 - \nu^2}} \cdot \frac {\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^3}{\sqrt{ \left ( 1 -  \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \cdot e^{- \nu \omega t} \cdot \sin ( \omega \sqrt {1 - \nu^2} t + \phi), \!
\phi = \arctan \frac {2 \nu \sqrt{1 - \nu^2}}{2 \nu^2 + \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 - 1}, \!

iar

x_F (t) = \lambda \cdot \frac {\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}{\sqrt{ \left ( 1 -  \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 \right )^2 + 4 \nu^2 \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2}} \cdot \sin (\theta t + \psi) , \!


\psi = \arctan \frac {2 \nu \frac {\theta}{\omega}}{\left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2 - 1}. \!

Analizând soluţia obţinută, constatăm că primul termen, x_L(t), \! care modelează vibraţiile libere, este de forma:

 x_L(t) = A e^{- \nu \omega t} \sin (\omega^* + \phi), \!

soluţie care exprimă o mişcare armonică cu pulsaţia \omega^* \! şi amplitudinea A e^{- \nu \omega t} \! şi care descreşte exponenţial în timp. O asemenea mişcare se mai numeşte şi cvasiarmonică şi este reprezentată grafic în figura 3.

Oscilatie cvasiarmonica amortizata.png

Figura 3

Soluţia ecuaţiei neomogene, care corespunde vibraţiilor forţate,

x_F = B \sin (\theta t + \psi), \!

exprimă o mişcare armonică (sinusoidală) de pulsaţie \theta \! şi amplitudine B (figura 4).

Miscare armonica sinusoidala.png

Fig. 4

Când acţiunea forţei perturbatoare este de lungă durată, vibraţia totală, x(t) = x_L(t) + x_F(t), \! se reduce la vibraţie forţată x_F(t), \! deoarece x_L(t) \! tinde la zero, datorită factorului e^{- \nu \omega t} .\! În această situaţie, care interesează din punct de vedere practic, mişcarea capătă un caracter staţionar.

Graficul soluţiei x(t), \! care se obţine prin însumarea graficelor din figurile 3 şi 4, arată ca în figura 5.

Graficul solutiei x(t).png

Fig. 5

În cazul lipsei forţei de amortizare vâscoasă (\nu = 0), \! avem:

x_F(t) = \frac {F_0}{m \omega^2 \left [ 1 - \left ( \frac {\theta}{\omega} \right )^2  \right ]} \cdot \sin (\theta t + \psi). \!

Observăm că dacă \theta = \omega , \! situaţie care corespunde cazului de rezonanţă, x_F(t) \! devine infinit. Această situaţie este ipotetică, deoarece, în realitate, sistemul are întotdeauna o amortizare internă, care limitează mărimea deplasărilor.

Să revenim la cazul general când \nu \neq 0. \! Analizând amplitudinea soluţiei în acest caz, observăm că în zona rezonanţei (\theta \cong \omega), \! deplasările nu mai devin infinite, dar, în această zonă, amplitudinea are valori maximale.

Un grafic al factorului de amplificare \mu^* \! în funcţie de raportul \frac {\theta}{\omega} \! şi pentru diferite valori ale frecvenţei este prezentat în figura 6.

Graficul factorului de amplificare.png

Fig. 6


Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki