Fandom

Coman Wiki

Vector

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Exemple vectori.png

Introducere Edit

Descrierea cantitativă a unor fenomene din natură presupune exprimarea legăturilor dintre diverse mărimi prin relaţii matematice adecvate. Fizica, prima dintre ştiinţele naturii, operează cu o serie de noţiuni, exprimate cantitativ prin mărimi fizice scalare, vectoriale sau tensoriale. Mărimile fizice scalare sunt complet determinate doar prin valoarea lor numerică. În această categorie intră timpul, temperatura, energia, lucrul mecanic, potenţialul electric sau gravitaţional, etc. Operaţiile matematice cu scalari sunt operaţii aritmetice obişnuite. Există mărimi fizice a căror descriere completă necesită specificarea suplimentară a direcţiei şi a sensului acestora. În acest caz, avem de a face cu aşa-numitele mărimi vectoriale, sau, pe scurt, vectori . Într-un spaţiu tridimensional, un vector este determinat în mod univoc prin proiecţiile sale pe cele trei axe ale sistemului de coordonate. Aşa cum vom vedea mai târziu, într-un spaţiu N- dimensional, un vector se poate reprezenta sub forma unei matrice linie, sau a unei matrice coloană cu N elemente. În fizică, un număr considerabil de mărimi sunt vectoriale. În mecanică, dintre exemplele cel mai frecvent întâlnite de mărimi vectoriale, putem aminti viteza, acceleraţia, forţa, impulsul, viteza unghiulară, momentul cinetic, momentul forţei etc[1]

Pe lângă scalari şi vectori, există şi o a treia categorie - mai puµin numeroasă - de mărimi fizice, care constituie o generalizare a vectorilor. Acestea se numesc mărimi tensoriale, sau tensori. Ele se reprezintă prin matrici cu mai multe linii şi coloane.[2]

Amintim aici, ca exemple de mărimi tensoriale întâlnite în mecanică, viteza unghiulară ³i momentul de inerµie.

Reprezentarea unui vector Edit

Există trei modalităţi de reprezentare a unui vector:

  • printr-un segment orientat (aşa-numita reprezentare geometrică),
  • prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de coordonate (aşa-numita reprezentare analitică), sau
  • printr-o matrice.

Fiecare din acestea prezintă avantaje şi dezavantaje, de aceea modul de reprezentare a unui vector se alege în funcţie de contextul problemei de rezolvat

Elementele unui vector.png

Figura A.1: Elementele specifice ale unui vector: O - originea; AA’ - dreapta suport orientată; ea determină direcţia şi sensul vectorului.

Reprezentarea geometrică Edit

În acest caz, un vector este reprezentat ca un segment orientat, care porneşte dintr-un punct numit origine sau punct de aplicaµie sau pol (notat cu O în Fig.A.1). Segmentul este aşezat pe dreapta suport AA' şi are sensul indicat de vârful săgeţii. Un vector definit în acest mod se numeşte vector polar. El este precizat prin: 1. modul (mărime); 2. origine (punct de aplicaşie); 3. orientare (direcţie şi sens). Lungimea segmentului orientat este proporµională cu mărimea vectorului. Modulul unui vector, \vec A \! , se notează \left |\vec A \right | \! sau A. Să considerăm un vector de mărime egală cu unitatea, notat \hat e_A, orientat pe direcţia şi în sensul vectorului \vec A \!. Acesta se numeşte versor.[3] Putem, prin urmare, scrie că: \vec A = \hat e_A  \cdot A \!   (A.1)

Reprezentarea analitică Edit

Într-o reprezentare analitică, un versor este determinat prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de referinţă. Un exemplu în acest sens este prezentat în Fig.A.2, în care s-au folosit coordonatele carteziene.

Să notăm cu A_x, \; A_y, \; A_z - proiecţiile lui \vec A \! de-a lungul axelor Ox, Oy şi Oz. Atunci: \vec A = A_x \hat x + A_y \hat y + A_z \hat z   (A.2)

unde \hat x, \; \hat y, \; \hat z sunt versorii direcţiilor x, y, z.

Proiectiile unui vector pe axe.png

Figura A.2: Proiecţiile unui vector, \vec A \!, pe axele unui reper cartezian

Mărimea vectorului se află folosind teorema lui Pitagora:

A= \sqrt {A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}   (A.3)

De exemplu, dacă: \vec v = 5 \hat x - 3 \hat y +  \hat z \! (m/s), atunci vx = 5 m/s, vy = −3 m/s, şi vz = 1 m/s.

Mărimea vitezei va fi v = \sqrt {25 + 9 + 1} m/s =\sqrt
35 m/s = 5.92 m/s.

Reprezentarea matriceală Edit

Orice vector poate fi exprimat ca o matrice cu o singură linie sau cu o singură coloană, fiecare element al acesteia reprezentând componenta (proiecţia vectorului) pe o anumită direcţie. De exemplu, vectorul reprezentat analitic prin relaţia (A.2) se va reprezenta matriceal, fie sub forma:

\vec A = \begin{pmatrix} A_x & A_y & A_z \end{pmatrix} ,   (A.4)

sau:

\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z  \end{pmatrix}   (A.5)

Operaţii algebrice cu vectori Edit

Adunarea şi scăderea vectorilor Edit

Rezultanta a doi vectori.png

Figura A.3: Determinarea pe cale geometrică a rezultantei a doi vectori: (a) prin metoda poligonului; (b) prin metoda paralelogramului

Fie \vec A, \vec B \! doi vectori oarecare. Suma \vec A + \vec B \!

este, de asemenea, un vector:

\vec A + \vec B = \vec C   (A.6)

Vectorul rezultant se poate reprezenta prin oricare din modalităţile menţionate anterior. În Fig.A.3 sunt prezentate două metode geometrice de aflare a vectorului rezultant. Prin regula poligonului (Fig.A.3 (a)) vectorul rezultant a doi (sau mai mulţi) vectori se află construind vectorul care închide conturul poligonal format din vectorii aşezaţi în succesiunea vârf-origine.

Originea vectorului rezultant se află în originea primului vector, iar vârful - în vârful ultimului vector al sumei.

În Fig.A.3 (b) este ilustrată adunarea a doi vectori prin regula paralelogramului. Conform regulei paralelogramului, vectorul rezultant este diagonala mare a paralelogramului construit de cei doi vectori concurenţi \vec A \! \vec B \!.

Din figură se observă că adunarea este comutativă. Această construcţie geometrică permite calculul mărimii vectorului sumă cu ajutorul teoremei lui Pitagora generalizate:

C = \sqrt{A^2 + B^2 + 2 AB \cos \alpha}   (A.7)

unde \alpha \! este unghiul dintre vectorii \vec A \! şi \vec B \!.

Vectorul diferenta.png

Figura A.4: Determinarea vectorului diferenţă, \vec D = \vec A - \vec B \!
(a) folosind adunarea lui \vec A \! cu vectorul opus, - \vec B \!;
(b) unind vârfurile vectorilor descăzut şi scăzător. Vectorul diferenţă are vârful în vectorul descăzut şi originea în vectorul-scăzător.

Dacă suma a doi vectori este egală cu zero, atunci vectorii sunt egali ca mărime şi au sensuri opuse.

\vec A + \vec B = \vec 0 \Rightarrow \vec B = - \vec A.   (A.8)

Această relaţie defineşte vectorul opus şi ea permite definirea operaţiei de scădere a doi vectori ca fiind adunarea unui vector, \vec A \! , cu vectorul opus,  - \vec B \!

\vec A - \vec B = \vec 0 \Rightarrow \vec B = - \vec A   (A.9)

Să exemplificăm, în continuare, adunarea vectorilor, plecând de la reprezentarea lor analitică. În coordonate carteziene:

\vec A = A_x \hat x + A_y \hat y + A_z \hat z   (A.10)
\vec B = B_x \hat x + B_y \hat y + B_z \hat z   (A.11)

Componentele vectorului sumă se află prin adunarea algebrică a componentelor (proiecţiilor) corespunzătoare, pe direcţiile Ox, Oy şi Oz.

\vec C = (A_x + B_x) \hat x + (A_y + B_y) \hat y + (A_z + B_z) \hat z   (A.12)
\vec D = (A_x - B_x) \hat x + (A_y - B_y) \hat y + (A_z - B_z) \hat z   (A.13)

Evident, procedura analitică poate fi utilizată pentru adunarea a n vectori \vec A_i, i = 1, 2, 3, \cdots n

Dacă se cunosc proiecţiile acestor vectori pe axele sistemului de coordonate carteziene, A_{ix}, A_{iy}, A_{iz} atunci, vectorul sumă este:

\vec R = \sum_{i=1}^n {\vec A_i}   (A.14)

de modul

R = \sqrt {A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}   (A.15)

unde

A_x = \sum_{i=1}^n {A_{ix}}, \; A_y = \sum_{i=1}^n {A_{iy}}, \; A_z \sum_{i=1}^n {A_{iz}},    (A.16)

Înmulţirea vectorilor Edit

Vezi articolul Produs a doi vectori.

Elemente de analiză vectorială Edit

Note Edit

  1. Aşa cum vom vedea în continuare, viteza, acceleraţia, forţa şi impulsul sunt vectori polari ; viteza unghiulară, momentul cinetic şi momentul forţei sunt vectori axiali, sau pseudovectori.
  2. Cu unele dintre ele am făcut cunoştinţă în cuprinsul acestei cărţi.
  3. În literatura de specialitate se folosesc şi alte notaţii pentru versori

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki