Michel Rolle
Teorema lui Rolle susţine faptul că o funcţie care are valori egale la capetele unui interval, adimte un punct în acel interval pentru care derivata sa se anulează.
Enunţ [ ] Fie funcţia
f
:
[
a
,
b
]
→
R
,
a
,
b
∈
R
,
a
<
b
{\displaystyle f: [a, b] \rightarrow \mathbb {R}, \; a,b \in \mathbb{R}, \; a<b \!}
Dacă
f este continuă pe intervalul [a, b] f este derivabilă pe (a, b) f(a) = f(b) Atunci:
Există cel puţin un punct
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c \in (a, b)}
f
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle f' (c) = 0 \!}
Cu alte cuvinte, între două rădăcini ale funcţiei f sa află cel puţin o rădăcină a derivatei f' .
Observaţie : Toate condiţiile din enunţ sunt necesare! .
Dacă se renunţă la una din acestea, teorema nu mai este valabilă.
Interpretare geometrică [ ] Tangentele duse prin punctele c corespunzătoare graficului funcţiei sunt paralele cu Ox .
Aplicaţii [ ] Exemplul 1 [ ]
f
(
x
)
=
{
x
2
+
1
,
x
∈
[
−
1
,
0
)
x
+
1
,
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{lr}
x^2 +1, \; x \in [-1, 0)
\\ \\
x+1, \; x \in [0, 1]
\end{array} \right.}
l
s
=
lim
x
↑
0
f
(
x
)
=
lim
x
↑
0
(
x
2
+
1
)
=
1
{\displaystyle l_s = \lim_{x \uparrow 0} {f(x)} = \lim_{x \uparrow 0} (x^2 + 1) = 1}
l
d
=
lim
x
↓
0
f
(
x
)
=
lim
x
↓
0
(
x
+
1
)
=
1
{\displaystyle l_d = \lim_{x \downarrow 0} f(x) = \lim_{x \downarrow 0} (x+1) = 1}
{
{\displaystyle \left \{ \begin{array}{lr} \\ \\ \end{array} \right.}
l
s
=
l
d
=
1
⇒
{\displaystyle l_s = l_d = 1 \Rightarrow }
x = 0f continuă pe [-1, 1]
f
s
=
lim
x
↑
0
f
(
x
)
−
f
(
0
)
x
=
lim
x
↑
0
x
2
+
1
−
1
x
=
lim
x
↑
1
x
=
0
{\displaystyle f_s = \lim_{x \uparrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x^2 + 1 - 1}{x} = \lim_{x \uparrow 1} x = 0}
f
d
=
lim
x
↓
0
f
(
x
)
−
f
(
0
)
x
=
lim
x
↑
0
x
+
1
−
1
x
=
lim
x
↓
1
x
=
0
{\displaystyle f_d = \lim_{x \downarrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x + 1 - 1}{x} = \lim_{x \downarrow 1} x = 0}
f
s
≠
f
d
⇒
{\displaystyle f_s \ne f_d \Rightarrow }
f nu este derivabilă în x = 0.
f nu satisface teorema lui Rolle.
Surse [ ] 
![{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ,\;a,b\in \mathbb {R} ,\;a<b\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b297990678f8c760354f8e0ab8475aefa03e1c3a)
![{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lr}x^{2}+1,\;x\in [-1,0)\\\\x+1,\;x\in [0,1]\end{array}}\right.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e1d44aa1540831ad52bb98723a9114edf819c9e8)
