Fandom

Coman Wiki

Teorema lui Rolle

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Michel Rolle.gif

Michel Rolle

Teorema lui Rolle susţine faptul că o funcţie care are valori egale la capetele unui interval, adimte un punct în acel interval pentru care derivata sa se anulează.

Enunţ Edit

Teorema Rolle.png

Fie funcţia f: [a, b] \rightarrow \mathbb {R}, \; a,b \in \mathbb{R}, \; a<b \!

Dacă

  • f este continuă pe intervalul [a, b]
  • f este derivabilă pe (a, b)
  • f(a) = f(b)

Atunci:

Există cel puţin un punct c \in (a, b) pentru care f' (c) = 0 \!

Cu alte cuvinte, între două rădăcini ale funcţiei f sa află cel puţin o rădăcină a derivatei f' .

Observaţie: Toate condiţiile din enunţ sunt necesare!. Dacă se renunţă la una din acestea, teorema nu mai este valabilă.

Interpretare geometrică Edit

Teorema lui Rolle, interpretare geometrica.png

Tangentele duse prin punctele c corespunzătoare graficului funcţiei sunt paralele cu Ox.

Aplicaţii Edit

Exemplul 1 Edit

f(x) = \left\{ \begin{array}{lr}
x^2 +1, \; x \in [-1, 0)
\\ \\
x+1, \; x \in [0, 1]
\end{array} \right.

  • continuitate

l_s = \lim_{x \uparrow 0} {f(x)} = \lim_{x \uparrow 0} (x^2 + 1) = 1

l_d = \lim_{x \downarrow 0} f(x) = \lim_{x \downarrow 0} (x+1) = 1

\left \{ \begin{array}{lr}  \\ \\ \end{array} \right. l_s = l_d  = 1 \Rightarrow continuă în x = 0

f continuă pe [-1, 1]

  • derivabilitate

f_s = \lim_{x \uparrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x^2 + 1 - 1}{x} = \lim_{x \uparrow 1} x = 0

f_d = \lim_{x \downarrow 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac {x + 1 - 1}{x} = \lim_{x \downarrow 1} x = 0

f_s \ne f_d  \Rightarrow f nu este derivabilă în x = 0.

f nu satisface teorema lui Rolle.

Surse Edit

Also on Fandom

Random Wiki