Fandom

Coman Wiki

Teorema lui Cantor (geometrie)

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Nu trebuie confundată cu Teorema lui Cantor din teoria mulţimilor!

Liniile lui Cantor.png

Acest rezultat este atribuit lui M. B. Cantor (1829-1920).

Enunţ Edit

Fie un triunghi ABC şi  A_3B_3C_3 \! triunghiul obţinut ducând tangentele vârfurile triunghiului ABC la cercul circumscris acestuia. Atunci perpendicularele duse prin  M_A, M_B, M_C, mijloacele laturilor lui ABC, la B_3C_3, \; C_3A_3, respectiv A_3B_3 sunt concurente într-un punct N care este de fapt centrul cercului celor nouă puncte.

Demonstraţie Edit

Să luăm ca origine centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC. Fie z_A, z_B şi z_C coordonatele vârfurilor acestuia.

Mijloacele laturilor triunghiului ABC au coordonatele:

m_A = \frac {z_A + z_B}{2} şi analoagele.

Dacă N este centrul cercului celor nouă puncte, atunci coordonata acestuia este:

n= \frac{z_A + z_B + z_C}{2}

Deoarece

n - m_A =  \frac {z_A}{2}

rezultă că NM_A este paralel cu raza OA deci perpendicular pe B_3C_3. În mod analog se demonstrează şi pentru celelalte două drepte.

Generalizare Edit

M. B. Cantor formulează un enunţ general:

Considerăm un poligon circumscriptibil cu n vârfuri. Luăm unul din vârfurile acestuia P_k, \; k \in \overline {1, n} şi notăm cu G_k centrul de greutate al celorlalte n-1 puncte. Din G_k ducem perpendiculara pe tangenta în P_k la cercul circumscris poligonului. Atunci toate aceste perpendiculare sunt concurente.

Sursa Edit

Also on Fandom

Random Wiki