Fandom

Coman Wiki

Teorema Silverman-Toeplitz

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema Silverman-Toeplitz a fost formulată şi demonstrată pentru prima dată de Otto Toeplitz.

Enunţ Edit

Fie (t_{nm})_{(n, m) \in \mathbb N^2} \; un şir de numere reale inferior triunghiular, iar (x_n)_{n \in \mathbb N} un şir simplu de numere reale.

Dacă:


  • Orice şir-coloană din şirul (t_{nm})_{(n, m) \in \mathbb N^2} \; este convergent la zero \; \iff  \; \lim_{n \rightarrow \infty} t_{nm} = 0 ,

\forall m \in \mathbb N, fixat;


  •  \exists K \in \mathbb {R_+^*}, astfel încât:


\sum_{i=0}^n {|t_{ni}|} \le K, \; \; (\forall) n\in \mathbb N;
  • \lim_{n \rightarrow \infty} x_n< = 0 ,


atunci \lim_{n \rightarrow \infty} {u_n} = 0 \;, unde şirul (u_n)_{n \in \mathbb N} \; are termenul general

 u_n = \sum_ {i = 0} ^ n {t_{ni} x_i} .


Demonstraţie Edit

Deoarece \lim_{x \rightarrow \infty} {x_n} = 0 \; rezultă că (\forall) \epsilon \in \mathbb {R_+^*}, \; (\exists) n_\epsilon \in \mathbb N \; astfel încât (\forall) n \in \mathbb N, \; n> n_\epsilon \; avem |x_n| < \frac {\epsilon}{2K} \; şi deci pentru orice  n > n_ \epsilon \; avem:

 |u_n| \le \left | \sum_ {i=0} ^ {n_e} {t_{ni} x_i} \right | + \sum_ {j = n_\epsilon + 1} ^ n {t_{nj} x_j} \le \left |\sum_ {i=0} ^ {n_e} {t_{ni} x_i} \right | + \left ( \sum_{j= n_\epsilon + 1} ^n {|t_{nj}|} \right ) \frac {\epsilon}{2 K} \le \left | \sum_ {i=0} ^ {n_\epsilon} {t_{ni} x_i} \right | + \frac {\epsilon}{2} .     (1)


Deoarece pentru orice  m \in \mathbb N,  m \; fixat,  \lim_{n \rightarrow \infty} t_{nm} = 0 \;

rezultă că pentru orice  \epsilon \in \mathbb {R^*_+} \; considerat mai sus  (\exists) k_\epsilon \in \mathbb N \; astfel încât pentru orice  n \in \mathbb N, \; n> k_\epsilon  \; avem:

 |t_{nm}| < \frac {\epsilon}{2 (|x_0| + |x_1| + |x_2| +  \ldots | x_{n_\epsilon} |)}

şi deci pentru orice  n > n_\epsilon + k_\epsilon - 1 \; avem:

 \left | \sum_{i=0} ^ {n_\epsilon} {t_{ni} x_i} \right | \le \sum_{i=0}^ {n_ \epsilon} {|t_{ni}| \cdot |x_i|}  \le  \frac {\epsilon}{2 (|x_0| + |x_1| + |x_2| +  \ldots | x_{n_\epsilon} |) }\cdot (|x_0| + |x_1| + |x_2| +  \ldots | x_{n_\epsilon} |) < \frac {\epsilon}{2} \; .


Din relaţia (1) obţinem că pentru orice  n > n_\epsilon + k_\epsilon - 1 \; avem  |u_n| < \epsilon \;,

ceea ce este echivalent cu

 \lim_{n \rightarrow \infty} {u_n} = 0 \;

şi teorema este demonstrată.

Also on Fandom

Random Wiki