Spaţiu metric

Introducere

Spaţiile metrice au fost introduse la începutul secolului XX de matematicianul francez Maurice René Fréchet şi constituie cadrul natural de prezentare a principiului contracţiei, care stă la baza demonstrării unor teoreme fundamentale din matematică, cum ar fi: teorema funcţiilor implicite, teorema de existenţă şi unicitate pentru ecuaţii şi sisteme de ecuaţii diferenţiale (integrale) etc. De asemenea, spaţiile metrice oferă un cadru suficient de general, relativ simplu, pentru studiul limitelor de funcţii (şiruri) şi a continuităţii funcţiilor.

Definiţie

O mulţime nevidă $\mathcal {X}$ se numeşte spaţiu metric dacă există o funcţie $d: \mathcal X \times X \rightarrow \mathbb R_+$ cu proprietăţile:

• $d(x,y) \ge 0, \; \forall x, y \in \mathcal X$ şi $d(x,y)=0$ dacă şi numai dacă $x = y$.
• $d(x, y) = d(y, x), \; \forall x, y \in \mathcal X$
• $d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y), \; \forall x, y \in \mathcal X.$

Funcţia d se numeşte funcţie-distanţă sau metrica spaţiului. Evident că dacă $(\mathcal X, d)$ este un spaţiu metric şi $\mathcal Y \subset \mathcal X,$ atunci $(\mathcal Y, d)$ este de asemenea spaţiu metric.