Fandom

Coman Wiki

Serie Fourier

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

2.1. Serii trigonometrice. Serii Fourier Edit

Fie funcţia f: [a, b] \leftarrow \mathbb R. Punctul x_0 \in [a, b] se numeşte punct de discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f(x_0 -0) şi f(x_0 + 0) există şi sunt finite.

Definiţia 2.1.1 Edit

Functie continua pe portiuni.png

Funcţia f: [a, b] \rightarrow \mathbb R se numeşte continuă pe porţiuni dacă este continuă pe cu excepţia unui număr finit de puncte de discontinuitate de prima speţă (fig. 1.1).

O astfel de funcţie este integrabilă.

Reamintim că funcţia f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R este periodică de perioadă T dacă f(x+T) = f(x), \forall x \in \mathbb R

Lema 2.1.1 Edit

Fie F: \mathbb R \rightarrow \mathbb R o funcţie periodică de perioadă 2 \pi \! . Atunci

\int_a^{a + 2 \pi} f(x)dx = \int_{-  \pi}^ \pi f(x)dx

Demonstraţie. Pentru aceasta este suficient să observăm că:

\int_{-  \pi}^ \pi f(x)dx = \int_{-  \pi}^af(x)dx + \int_{a}^{a + 2 \pi} f(x)dx + \int_{a + 2  \pi}^ \pi f(x)dx.

Cu schimbarea de variabilă x= t -2 \pi, obţinem:

\int_{a + 2  \pi}^ \pi f(x)dx = \int_a^{- \pi} f(t)dt = - \int_{- \pi}^a f(t)dt,

deci

\int_{- \pi}^a f(x)dx + \int_{a + 2 \pi}^ \pi f(x)dx = 0,

de unde rezultă lema.

În general, dacă f are perioada T , atunci:

\int_a^{a + T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx.

Definiţia 2.1.2 Edit

Fie (\alpha_n)_{n \ge 0}, (\beta_n)_{n \ge 1}, două şiruri de numere reale. Seria de funcţii:

\frac {\alpha_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (\alpha_n \cos nx + \beta_n \sin nx)

se numeşte serie trigonometrică de coeficienţi \alpha_n, \; n \ge 0, \; \beta_n, \; n \ge 0 Sumele parţiale ale unei astfel de serii de funcţii

\frac {\alpha_0}{2} - \sum_{k=1}^n (\alpha_k \cos kx + \beta_k \sin kx)

se numesc polinoame trigonometrice.

Definiţia 2.1.3 Edit

Fie funcţia f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, periodică de perioadă 2 \pi \!, continuă pe porţiuni pe orice interval compact şi fie:

a_0 = \frac {1}{\pi} \int_{- \pi}^\pi f(x)dx, \; a_n = \frac {1}{\pi} \int_{- \pi}^ \pi f(x) \cos nx dx, \; b_n = \frac {1}{\pi} \int_{- \pi}^\pi f(x) \sin nx dx, \; n \ge 1.

Atunci seria trigonometrică:

\frac {a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

se numeşte seria Fourier ataşată funcţiei, iar coeficienţii a_n, \; b_n \!, se numesc coeficienţii Fourier ai funcţiei f.


Sursa: Cursuri Facultatea Construcţii Civile

Also on Fandom

Random Wiki