Fandom

Coman Wiki

Produs a doi vectori

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Se pot defini mai multe moduri de înmulţire a vectorilor, în funcţie de contextul problemei. Rezultatul înmulţirii poate fi o mărime vectorială sau una scalară.

Înmulţirea vectorilor cu un scalar Edit

Din înmulµirea unui vector, \vec A \! cu un scalar, \mu \! , rezultă un alt vector, \vec A', de mărime \mu A

\vec A' = \mu \vec A = \overrightarrow {\mu A}   (A.17)

Direcţia vectorului \vec A' \! este aceeaşi cu a vectorului \vec A \!, iar mărimea şi sensul său depind devaloarea scalarului \mu \!:

  • dacă \mu > 0 \! sensul lui \vec A' \! este sensul lui \vec A \!
  • dacă \mu < 0 \! sensul lui \vec A' \! este contrar sensului lui \vec A \!.

Un exemplu de înmulţire a unui vector cu un scalar a fost deja prezentat în relaţia (A.1) şi ilustrat în Fig.A.1.

Produsul scalar Edit

Interpretarea geometrica a produsului scalar.png

Figura A.5: Interpretarea geometrică a produsului scalar cu ajutorul proiecţiei unui vector pe dreapta suport a celuilalt.

Produsul scalar a doi vectori se notează cu ” \cdot \! ”. Rezultatul operaţiei de înmulţire scalară a doi vectori este un scalar:

\vec A \cdot \vec B = A B \cos \alpha   (A.18)

unde \alpha \! reprezintă unghiul dintre vectorii \vec A, \; \vec B \! (Fig.A.5).

Dacă vectorii \vec A, \; \vec B \! sunt perpendiculari, produsul lor scalar este nul, deoarece \cos 90^\circ = 0.

Din definiţia dată de relaţia (A.18) se observă că produsului scalar este comutativ:

\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A   (A.19)

Cu ajutorul Fig.A.5 se poate da o interpretare geometrică a produsului scalar a doi vectori.

Aşa cum rezultă din figură, proiecţia vectorului \vec A \! pe dreapta suport a lui \vec B \! este:

P r_{\vec B} \vec  A = A \cos \alpha ,   (A.20)

astfel încât:

\vec A \cdot vec B = B \cdot Pr_{\vec B}  \vec A   (A.21)

La fel:

Pr_{\vec A} \vec B = B \cos \alpha   (A.22)

astfel încât:

\vec A \cdot \vec B = A \cdot Pr_{\vec A}  \vec B   (A.23)

Componenta unui vector pe o axă este proiecţia acestuia pe direcţia acelei axe. În funcţie de versorii fiecărei axe, se poate scrie:

A_x = A \cos (\vec A , \hat x) = \vec A \cdot \hat x   (A.24)
A_y = A \cos (\vec A , \hat y) = \vec A \cdot \hat y   (A.25)
A_z = A \cos (\vec A , \hat z) = \vec A \cdot \hat z   (A.26)

Cosinusurile unghiurilor dintre vectorul \vec A \! şi axele Ox, Oy, Oz se numesc cosinusurile directoare ale vectorului \vec A \!.

\cos (\vec A, \hat x)= \frac {A_x}{A} = \alpha_1   (A.27)
\cos (\vec A, \hat y)= \frac {A_y}{A} = \beta_1   (A.28)
\cos (\vec A, \hat z)= \frac {A_z}{A} = \gamma_1   (A.29)

Ca urmare:

 \vec A =A \cdot (\alpha_1 \hat x + \beta_1 \hat y + \gamma_1 \hat z)  = A \hat e_A   (A.30)

unde

 \hat e_A = \alpha_1 \hat x + \beta_1 \hat y + \gamma_1 \hat z   (A.31)

este versorul direcţiei lui \vec A \!. Într-adevăr:

 \hat e_A \cdot \hat e_A = 1   (A.32)

deoarece:

 \alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2 = 1   (A.33)

La un rezultat identic se ajunge folosind reprezentarea analitică. Deoarece versorii  \hat x (1, 0, 0) ,  \hat y (0, 1, 0) ,  \hat z (0, 0, 1) sunt reciproc perpendiculari, adică:

 \hat x \cdot \hat y = \hat y \cdot \hat z = \hat z \cdot \hat x = 0    (A.34)
  \hat x \cdot \hat x = \hat y \cdot \hat y  = \hat z \cdot \hat z = 1   (A.35)

produsul scalar al vectorilor \vec A (A_x, A_y, A_z) şi \vec B (B_x, B_y, B_z) se exprimă ca:

 \vec A \cdot \vec B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z   (A.36)

Exemple de mărimi definite printr-un produs scalar sunt: lucrul mecanic, fluxul câmpului (gravitaţional, electric, magnetic) printr-o suprafaţă etc.

Produsul vectorial Edit

Ilustrarea modului de determinare a directiei si sensul produsului vectorial..png

Figura A.6: Ilustrarea modului de determinare a direcţiei şi sensul produsului vectorial

Produsul vectorial a doi vectori \vec A, \vec B \!, notat cu "\times \!" are ca rezultat un vector axial, \vec C \!:

 \vec A \times \vec B = \vec C   (A.37)

Prin convenµie, produsul vectorial este un vector perpendicular pe planul format de \vec A \! şi \vec B \! (Fig A.6). Sensul lui \vec C \! este stabilit de regula burghiului drept :

Se aşează burghiul perpendicular pe planul format de vectorii - produs şi se roteşte în sensul suprapunerii primului vector peste cel de-al doilea, pe drumul cel mai scurt. Sensul de înaintare al burghiului este sensul vectorului rezultant.

Această regulă de înmulţire ne "atenţionează" că produsul vectorial este anticomutativ:

 \vec A \times \vec B = - \vec B \times \vec A   (A.38)

Mărimea vectorului rezultant este dată de relaţia:

 C = AB \sin \alpha \!   (A.39)

Cu ajutorul Fig.A.6 se poate da o interpretare geometrică produsului vectorial. Se constată că modulul lui \vec C \! reprezintă aria paralelogramului construit de cei doi vectori.

Să calculăm produsul vectorial, folosind de data aceasta reprezentarea analitică:

 \vec A \times \vec B = (A_x \hat x + A_y \hat y + A_z \hat z)  \times (b_x \hat x + B_y \hat y + B_z \hat z)   (A.40)
 A_x B_x (\hat x \times \hat x) + A_y B_y (\hat x \times \hat y) + A_z B_z (\hat x \times \hat z)
+ A_y B_x (\hat y \times \hat x) + A_y B_y (\hat y \times \hat y) + A_y B_z (\hat y \times \hat z)
+ A_z B_x (\hat z \times \hat x) + A_z B_y (\hat z \times \hat y) + A_z B_z (\hat z \times \hat z)   (A.41)

Deoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este zero, iar:

 \hat x \times \hat y = \hat z   (A.42)
 \hat y \times \hat z = \hat x   (A.43)
 \hat z \times \hat x = \hat y   (A.44)

se obţine:

\vec A \times \vec B = \hat x (A_y B_z - A_z B_y) + \hat y (A_z B_x - A_x B_z ) + \hat z (A_z B_y - A_y B_z)
= \hat x \begin{vmatrix} A_y & A_z \\ B_y & B_z \end{vmatrix} + \hat y \begin{vmatrix} A_x & A_z \\ B_x & B_z  \end{vmatrix}  + \hat z \begin{vmatrix}  A_x & A_y \\ B_x & B_y \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z  \\ A_x & A_y && A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}   (A.45)

Produsul mixt Edit

Interpretarea geometrica a produsului mixt.png

Figura A.7: Interpretarea geometrică a produsului mixt ca volumul paralelipipedului construit cu cei trei vectori.

Produsul mixt include ambele tipuri de înmulţiri dintre vectori. Rezultatul produsului scalar dintre vectorul \vec C \! şi produsul vectorial al altor doi vectori, \vec A \! şi \vec B \! , este un pseudoscalar, D:[1]

 (\vec A \times \vec B) \cdot \vec C = D   (A.46)

Dacă vectorii sunt cunoscuţi pe componente, atunci produsul mixt se poate calcula sub forma unui determinant:

Nu s-a putut interpreta (Conversie în PNG eșuată; verificați corectitudinea instalării sistemelor LaTex sau dvipng (sau dvips + gs + convert)):
  (A.47)


Nu s-a putut interpreta (Conversie în PNG eșuată; verificați corectitudinea instalării sistemelor LaTex sau dvipng (sau dvips + gs + convert)):
  (A.48)


Nu s-a putut interpreta (Conversie în PNG eșuată; verificați corectitudinea instalării sistemelor LaTex sau dvipng (sau dvips + gs + convert)):
  (A.49)


Nu s-a putut interpreta (Conversie în PNG eșuată; verificați corectitudinea instalării sistemelor LaTex sau dvipng (sau dvips + gs + convert)):
  (A.50)


Nu s-a putut interpreta (Conversie în PNG eșuată; verificați corectitudinea instalării sistemelor LaTex sau dvipng (sau dvips + gs + convert)):
  (A.51)

Triplul produs vectorial Edit

Resurse Edit


Eroare la citare: Etichete <ref> există, dar nu s-a găsit nicio etichetă <references/>

Also on Fandom

Random Wiki