Fandom

Coman Wiki

Problema lui Cauchy

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Metoda lui Euler Edit

Determinarea soluţiei exacte a problemei lui Cauchy nu este posibilă decât în anumite cazuri. De exemplu, determinarea soluţiei exacte a ecuaţiei diferenţiale aparent simplă:


y' = x^2 + y^2, \; y(0) = 1, \!

nu este posibilă.

Se justifică astfel necesitatea recurgerii la metode numerice (aproximative) pentru rezolvarea problemei Cauchy. Metodele numerice constau în alegerea unor noduri echidistante x_k, \; k \in \mathbb N,  \! şi determinarea unor valori aproximative y_k \! ale soluţiei exacte y = y(x) \! în aceste noduri, deci y_k \approx y(x_k). \!

În cele ce urmează, prezentăm cea mai simplă metodă directă de rezolvare a problemei Cauchy şi anume metoda lui Euler.

Fie problema Cauchy 
\begin{cases}
y' = f(x, y)
\\
& (x, y) \in D= [x_0 - a, x_0+a] \times [y_0-b, y_0 + b ].
\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}

Presupunem că f \in \mathfrak C^{(1)} ,\! deci f este continuă, \frac {\partial f}{\partial y} \! este continuă şi deci mărginită pe D. În aceste condiţii, f este lipschitziană în raport cu y pe D, deci sunt îndeplinite condiţiile teoremei de existenţă şi unicitate. Aşadar, problema lui Cauchy considerată are o soluţie unică y= y(x), \; x \in I \subset [x_0-a, x_0+a], \! cu proprietăţile:

y'(x) = f(x, y(x)), \; \forall x \in I, \!
y(x_0) =y_0. \!

Deoarece y'(x_0) = f(x_0, y_0), \! rezultă că ecuaţia tangentei în punctul M_0(x_0, y_0)\! la curba integrală a acestei soluţii, este:

y=y_0 + f(x_0, y_0)(x-x_0). \!

Considerăm nodurile echidistante x_k = x_0 +kh, \; h>0, \; k=\overline {1, n}, \; x_k \in I, \! şi notăm cu y_1= y_0 + f(x_0, y_0) (x_1-x_0) \! (vezi figura 1).

Aproximare problema Cauchy.png

Fig. 1

Aproximăm soluţia exactă y=y(x) \! a problemei Cauchy, în punctul x_1, \! cu soluţia aproximativă y_1 \!. Aşadar

y(x_1) \approx y_0 + f(x_0, y_0) (x_1 - x_0) = y_0 + f(x_0, y_0) \cdot h. \!

În continuare, considerăm dreapta

y =y_1 + f(x_1, y_1) (x -x_1) \!

şi aproximăm soluţia exactă y=y(x) \! a problemei Cauchy, în punctul x_2, \! cu

y_2 =y_1 + f(x_1, y_1) (x_2-x_1), \!

deci y(x_2) \approx y_1 + f(x_1, y_1) \cdot h \! etc.

Se obţine următorul algoritm:


\begin{cases}
y_k= y_{k-1} + h \cdot f(x_{k-1}, y_{k-1})
\\
& , k \ge 1
\\
y_0 = y(x_0)
\end{cases}
  (1)

Pentru estimarea erorii, folosim formula Taylor. Presupunând că f \in \mathfrak C ^{(2)}(D), \! avem:

y(x_k) = y(x_{k-1} + h) = y(x_{k-1}) + y' (x_{k-1}) \cdot h + o (h^2). \!

Cum y'(x_{k-1}) = f(x_{k-1}, y_{k-1}), \! rezultă că

y(x_k)= y(x_{k-1}) + h \cdot f(x_{k-1}, y_{k-1}) + o(h^2). \!   (2)

Din (1) şi (2) deducem că:

y(x_k) -y_k  = y(x_{k-1}) - y_{k-1} +o(h^2).\!

Prin urmare, eroarea la pasul k se obţine din eroarea la pasul precedent, k-1, la care se adaugă un infinit mic de ordinul 2(o(h^2)). \!


Exemplul 1.6.1. Fie problema Cauchy:


\begin{cases}
y' = y^2 - \frac y x - \frac {1}{4x^2}
\\
y(1) = \frac 1 2
\end{cases}

Să se determine soluţia aproximativă în punctul x=2, \! în doi paşi.

În acest caz, avem: f(x, y) = y^2 - \frac y x - \frac {1}{4x^2}, \!

x_0=1, \; y_0= 0,5, \; n=2, \; x_1= 1,5, \; x_2=2, \!
y_1= y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 0,25, \!
y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 0,14236. \!

Aşadar y_2 \approx 0,14236. \!

Pe de altă parte, observăm că ecuaţia diferenţială considerată este o ecuaţie de tip Riccati, care admite soluţia particulară y_p = \frac {1}{2x}. \! Cum această soluţie satisface condiţia iniţială y(1)= \frac 1 2, \! rezultă că y= \frac {1}{2x} \! este soluţia exactă a problemei Cauchy considerate.

Valoarea soluţiei exacte în punctul 2, este y(2) = \frac 1 4 = 0,25. \! Se obţine o eroare destul de mare y(2)- y_2 \cong 0,1. \! Dacă foloseam mai mulţi paşi, deci alegeam un pas h mai mic, obţineam o eroare mai mică, deci mai bună.


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki