Fandom

Coman Wiki

Integrală de suprafaţă

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Integrale de suprafaţă de speţa întâi Edit

Fie S o suprafaţă simplă de arie finită dată prin reprezentarea parametrică \overline x = \phi (u, v) \! cu (u, v) \in D \! şi f: \Omega \subset \mathbb R^3  \rightarrow \mathbb R \! o funcţie continuă cu proprietatea \Omega \subset S. \! Împărţim suprafaţa S în n suprafeţe mai mici S_1, S_2, \cdots , S_n, \! având ariile A_1, A_2, \cdots , A_n. \! În fiecare parte S_k \! alegem un punct oarecare P_k \! şi considerăm suma:

I_n= \sum_{k=1}^n f(P_k) \cdot A_k \!

DEFINIŢIE Dacă n creşte şi S_1, S_2, \cdots , S_n, \! sunt astfel încât cel mai mare S_k \! tinde la un punct pentru n \to \infty, \! atunci şirul de numere I_1, I_2, \cdots , I_n, \cdots \! tinde la un număr care nu depinde de diviziune şi de algerea punctelor P_k. \! Această limită se numeşte integrala de suprafaţă de speţa întâi a funcţiei f pe S şi se notează cu:

\iint_S f(x_1, x_2, x_3) dS \!

De fapt, şirul I_1, I_2, \cdots , I_n, \cdots \! tinde la integrala dublă

\iint_D f(\phi (u, v)) \sqrt {EG-F^2} du dv \!

şi valoarea acestei integrale duble este integrala de suprafaţă de speţa întâi a lui f pe S.

\iint_S f(x_1, x_2, x_3) dS = \iint_D f(\phi (u, v)) \sqrt {EG-F^2} du dv \!


Valoarea integralei de suprafaţă de speţa întâi nu depinde de reprezentarea parametrică a suprafeţei.

Integrale de suprafaţă de speţa a doua Edit

Fie S o suprafaţă simplă având reprezentare parametrică \overline x - \phi (u, v), \; (u, v) \in D. \!

Orientăm S cu versorul normalei \overline n, \; \overline n= \frac{\overline N}{\| \overline N\|}, \! dar de această reprezentare.

N = (\frac{\partial \phi_3}{\partial u} \cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial v} - \frac{\partial \phi_2}{\partial u} \cdot \frac{\partial \phi_3}{\partial v}, \; \frac{\partial \phi_1}{\partial u} \cdot \frac{\partial \phi_3}{\partial v} - \frac{\partial \phi_3}{\partial u} \cdot \frac{\partial \phi_1}{\partial v}, \; \frac{\partial \phi_2}{\partial u} \cdot \frac{\partial \phi_1}{\partial v} - \frac{\partial \phi_1}{\partial u} \cdot \frac{\partial \phi_2}{\partial v})

unde  (u, v) \in D \!

Notăm cu \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \! unghiurile dintre \overline n \! şi direcţiile pozitive ale axelor de coordonate Ox_1, Ox_2, Ox_3 \! şi avem:

\overline n = (\cos \alpha_1, \cos \alpha_2, \cos \alpha_3, ) \!

Fie acum funcţiile W_1 = W_1 (x_1, x_2, x_3), W_2 = W_2 (x_1, x_2, x_3), W_3 = W_3 (x_1, x_2, x_3),  \! definite şi continue în orice punct din S.

DEFINIŢIE. Integralele de suprafaţă notate cu

\iint_S W_1 dx_2 dx_3 \;\;\;  \iint_S W_2 dx_3 dx_1 \;\;\;  \iint_S W_3 dx_1 dx_2 \;\;\;  \!

definite prin:

\iint_S W_1 dx_2 dx_3 = \iint_S W_1 \cdot \cos \alpha_1 dS \!
\iint_S W_2 dx_3 dx_1 = \iint_S W_2 \cdot \cos \alpha_2 dS \!
\iint_S W_3 dx_1 dx_2 = \iint_S W_3 \cdot \cos \alpha_3 dS \!

se numesc integrale de suprafaţă de speţa a doua.

Integralele de suprafaţă de speţa a doua sunt integrale de suprafaţă de speţa întâi din funcţii care depind de suprafaţă şi de orientarea suprafeţei.

Este clar că valoarea unei asemenea integrale depinde de \overline n \! (de reprezentarea parametrică) care defineşte o orientare a lui S. Trecerea la orientarea opusă corespunde înmulţirii cu -1 \! a integralei, deoarece componentele \cos \alpha_1,\cos \alpha_2,\cos \alpha_3  \! ale lui \overline n \! se înmulţesc cu -1. \!

Sume celor trei integrale de suprafaţă de speţa a doua poate fi scrisă într-o formă simplă alegând o notaţie vectorială:

\overline W = (W_1(x_1, x_2, x_3), W_2(x_1, x_2, x_3), W_3(x_1, x_2, x_3)) \!

şi obţinem:

\iint_S = W_1 dx_2 dx_3 + W_2 dx_3 dx_1 + W_3 dx_1 dx_2 = \iint_S (W_1 \cos \alpha_1 +W_2 \cos \alpha_2 +W_3 \cos \alpha_3 ) =
= \iint_S \overline W \cdot \overline n dS  \!

Fiecare integrală de suprafaţă de speţa a doua se exprimă ca o integrală dublă în termenii reprezentării parametrice:

\iint_S W_1 dx_2 dx_3 = \iint_D W_1 (\phi (u, v)) \cdot \frac {D(\phi_2, \phi_3)}{D(u, v)} du dv \!
\iint_S W_2 dx_3 dx_1 = \iint_D W_2 (\phi (u, v)) \cdot \frac {D(\phi_3, \phi_1)}{D(u, v)} du dv \!
\iint_S W_3 dx_1 dx_2 = \iint_D W_3 (\phi (u, v)) \cdot \frac {D(\phi_1, \phi_2)}{D(u, v)} du dv \!

Proprietăţi ale integralelor de suprafaţă Edit

Integralele de suprafaţă de speţa întâi şi cele de speţa a doua sunt liniare şi aditive. Aceasta întrucât ele se reduc la integrale duble care au aceste proprietăţi.

Astfel avem:

a) \iint_S k \cdot f dS = k \cdot \iint_S fdS \!
b) \iint_S (f+g) dS = \iint_S f dS + \iint_S gdS \!


c)\iint_S fdS = \iint_{S_1} fdS + \iint_{S_2} fdS \!

Pe lângă aceste proprietăţi, integralele de suprafaţă au următoarele proprietăţi importante:

Fie A o mulţime mărginită şi închisă pe \mathbb R^3 \! a cărei frontieră este o suprafaţă orientabilă S, simplă pe porţiuni.

TEOREMA DE DIVERGENŢĂ A LUI GAUSS. Dacă funcţia vectorială \overline u \! este de clasă \mathcal C^1 \! pe un domeniu care conţine mulţimea A, atunci are loc egalitatea:

\iiint_A div \overline u dx_1 dx_2 dx_3 = \iint_S \overline u \cdot \overline n dS \!

unde \overline n \! este versorul normalei exterioare la S.

CONSECINŢA 1. Dacă \overline u = grad\; f, \! atunci:

\iiint_A \Delta f dV = \iint_S \frac {\partial f}{\partial \overline n}dS \!

şi pentru \Delta f =0 \! avem:

\iint_S \frac {\partial f}{\partial \overline n}dS =0 \!


CONSECINŢA 2. Dacă \overline u =f \cdot grad\; g, \! atunci:

div \;\overline u = f \cdot \Delta g + grad \; f \cdot grad \; g \!
\overline u \cdot \overline n = f \cdot (\overline n \cdot grad \; g) = f \cdot \frac{\partial g}{\partial \overline n} \!

şi

\iiint_A (f \cdot \Delta g + grad \; f \cdot grad \; g) dV = \iint_S f \cdot \frac{\partial g}{\partial \overline n} dS \!
George Green.jpg

George Green, matematician şi fizicin englez

Această egalitate poartă numele de prima formulă a lui Green

Schimbând rolurile lui f şi g şi scăzând se obţine egalitatea:

\iiint_A (f \cdot \Delta g -g \cdot \Delta f) dV = \iint_S (f \cdot \frac {\partial g}{\partial \overline n} - g \cdot \frac {\partial f}{\partial \overline n}) dS \!

care poartă denumirea de cea de a doua formulă a lui Green.

Fie S o suprafaţă simplă orientată, a cărei frontieră este o curbă simplă închisă C orientată.


TEOREMA LUI STOKES. Dacă funcţia vectorială \overline v = \overline v (x_1, x_2, x_3) \! este de clasă \mathcal C^1 \! într-un domeniu care conţine suprafaţa S, atunci:

\iint_S (rot \; \overline v) \cdot \overline n dS = \int_C \overline v \cdot \overline t ds \!

unde: rot \; \overline v = (\frac {\partial v_3}{\partial x_2}-\frac {\partial v_2}{\partial x_3}, \frac {\partial v_1}{\partial x_3}-\frac {\partial v_3}{\partial x_1}, \frac {\partial v_2}{\partial x_1}-\frac {\partial v_1}{\partial x_2} ),  \; \; \overline n \! este versorul normalei la S, iar \overline t \! este versorul tangentei la C.


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki