Fandom

Coman Wiki

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Forma cea mai simplă:

(ax+by)^2 \le (a^2 + b^2) (x^2 + y^2)

Aplicatia ei:

  • în analiză: studiul seriilor infinite sau integrării produselor

Alte forme:

 | <x, y> |^2 \le  <x, x> \cdot <y, y>

 | \langle x, y \rangle |^2 \leq  \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle


 \langle x, y \rangle \le  ||x|| \cdot ||y||


 x_1, x_2, \ldots x_n \in \mathbb{C}

 y_1, y_2, \ldots y_n \in \mathbb{C}


 | x_1 \bar {y_1} + x_2 \bar{y_2} + \ldots x_n \bar {y_n}  |


Varianta integrală Edit

Teorema Hölder

Fie f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} două funcţii integrabile şi p, q \ge 1 cu \frac 1 p + \frac 1 q = 1

Atunci avem:

\int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \le \left ( \int_a^b {|f(x)|^p dx} \right )^{\frac 1 p} \cdot \left ( \int_a^b {|g(x)|^q dx} \right )^{\frac 1 q}

Demonstraţie Edit

Dacă \int_a^b {|f(x)|^p dx} = 0 sau \int_a^b {|g(x)|^q dx} = 0 se obţine că f este nulă aproape peste tot sau g este nulă aproape peste tot,deci fg este nulă aproape peste tot \Rightarrow

\int_a^b {f(x)g(x)} = 0 şi se obţine egalitatea:

Presupunem că  u= \int_a^b | f(x) |^p \succ 0 şi  u= \int_a^b | g(x) |^q \succ 0.

Se arată (cu ajutorul derivatelor) că, dacă \frac 1 p +\frac 1 q = 1 şî \alpha + \beta \succ 0, atunci

\frac {\alpha^p}{p} + \frac {\beta^p}{q} \ge \alpha \beta   (1)

Luând \alpha = \frac {|f(x)|}{u^{\frac 1 p}} şi \beta = \frac {|g(x)|}{v^{\frac 1 q}}, din relaţia (1) se obţine inegalitatea:

\frac {|f(x)|^p}{pu} + \frac {|g(x)|^q}{qv}  \ge \frac {|f(x) \cdot g(x) |}{u^{\frac 1 p} \cdot v^{\frac 1 q}}.

Aplicând procedeul de integrare, se obţine inegalitatea lui Hőlder.

Teorema Cauchy-Schwartz-Buniakowski Edit

Fie f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} două funcţii integrabile. Atunci avem:

\left (  \int_a^b {|f(x) \cdot g(x)| dx} \right )^2 \le \left (  \int_a^b {|f(x)|^2 dx} \right ) \cdot \left (  \int_a^b {|g(x)|^2 dx} \right )

Demonstraţie Edit

În inegalitatea integrală a lui Hölder punem p=q=2 \!

Aplicaţia 1 Edit

Surse:

Also on Fandom

Random Wiki