Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială omogenă

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuaţiile diferenţiale omogene sunt ecuaţii diferenţiale de forma

y' = f \left (  \frac y x \right) , \!   (3)

unde f este o funcţie continuă pe un interval  I, \; 0 \not \in I.  \!

Dacă notăm cu  u = \frac y x \! şi considerăm u = u(x) noua funcţie necunoscută, rezultă y(x)= xu(x)  \! şi y' = u+ xu'.  \! În urma acestei schimbări de funcţie necunoscută, ecuaţia (3) devine o ecuaţie cu variabile separabile, anume:

 u+ xu' = f(u). \!

Cazul f(u) =u se reduce la o ecuaţie cu variabile separabile şi se rezolvă ca mai sus. Putem deci presupune că f(u) \neq u \!

Separând variabilele obţinem:

\frac {du}{f(u) - u} = \frac {dx}{x}  \!

şi mai departe:

\int \frac {du}{f(u) - u} = \ln |x|  + \ln | \mathcal C |, \; \mathcal C \in \mathbb R^*. \!

Exemplul 1.2.3. Să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

y' = \frac y x + \left ( \frac y x  \right )^2, \; x \neq 0,  \!

care îndeplineşte condiţia iniţială y(2) = 1.

Notând cu u= \frac y x,  \! obţinem  u+ xu' = u +u^2 \! sau xu' = u^2.  \! Presupunem, în continuare,  y \neq 0  .\! Ecuaţia diferenţială xu' = u^2  \! se scrie sub forma \frac {du}{u^2} = \frac {dx}{x}.  \! Integrând, rezultă:

-\frac 1 u = \ln |x| + \ln | \mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*.  \!

şi mai departe - \frac x y = \ln | \mathcal C| |x|, \; x \neq 0.  \! Din această relaţie se obţin soluţiile corespunzătoare diferitelor condiţii iniţiale. Impunând condiţia y(2) = 1, se obţine | \mathcal C| = \frac {1}{2 e^2},  \! care conduce la - \frac x y = -2 - \ln 2 + \ln |x|, x \neq 0.  \! Deoarece ne interesează cazul  x \in (0, \infty),  \! rezultă că soluţia care îndeplineşte condiţia iniţială y(2) = 1 este y= \frac {x}{2 + \ln 2 - \ln x}, \; x \in (0, 2e^2).  \!

Also on Fandom

Random Wiki