Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O ecuaţie diferenţială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuaţie diferenţială de forma:

a_0(x) y^{(n)} +a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots +a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = f(x), \; x \in I,  \!   (1)

unde a_0, a_1, \cdots , a_n, \; \; f  \! sunt funcţii continue pe intervalul  I \subset \mathbb R  \! şi  a_0(x) \neq 0, \; \forall x \in I. \!   (2)

Definiţia 1.3.1. Spunem că o funcţie \phi : I \rightarrow \mathbb R  \! este de clasă \mathfrak C^{(p)}  \! pe intervalul I­ dacă \phi  \! admite derivate până la ordinul p inclusiv şi acestea sunt continue pe I.

Vom folosi notaţia \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! De exemplu, \phi \in \mathfrak C^{(0)} (I)  \! dacă \phi  \! este continuă pe I, \phi \in \mathfrak C^{(1)} (I)  \! dacă există  \phi' \! şi este continuă pe I etc.

Este evident că \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! este un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial al funcţiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota \mathcal F (I, \mathbb R).  \!

Definiţia 1.3.2. Se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) orice funcţie \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! care verifică ecuaţia, adică:

a_0(x) \phi^{(n)} + a_1(x) \phi^{(n-1)} +  \cdots  + a_{n-1}(x) \phi' + a_n(x) \phi = f(x), \; x \in I .  \!

Dacă notăm cu D operatorul de derivare \left (  D = \frac {d}{dx} \right ),  \! cu D^p, \; p \in \mathbb N^*  \! operatorul de derivare de ordinul p, D^p = {\underbrace {D \circ D \circ \cdots \circ D}}_{de\; n \; ori}= \frac {d^p}{dx^p}, \!

cu D^0  \! operatorul identitate \left (  D^0 (\phi) = \phi, \forall \phi \in \mathfrak C^{(n)} (I)\right )  \! şi cu

 L (D) = \sum_{k=0}^n {a_k (x) D^k} = a_0(x) D^n + a_1(x) D^{n-1} + \cdots + a_{n-1}(x)D + a_n(x) D^0, \; x \in I,  \!

atunci ecuaţiile (1) şi (2) se scriu pe scurt astfel:

 L(D)(y) = f(x), \; x \in I,  \!   (1’)

respectiv

L (D)(y) = 0, \; x \in I.  \!   (2’)

Propoziţia 1.3.1. Mulţimea S a soluţiilor ecuaţiei omogene (2) este un subspaţiu vectorial al spaţiului de funcţii  \mathcal F (I, \mathbb R). \!

Demonstraţie.

Vom arăta că \forall y, z \in S  \! şi  \forall \lambda, \mu 
\in \mathbb R,  \! rezultă că  \lambda y + \mu z \in S. \!

Pentru început reamintim că operatorul de derivare D este liniar, adică are proprietatea: D(\lambda y + \mu z) = \lambda D(y) + \mu D (z), \; \forall y, z \in \mathfrak C^{(n)}(I), \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R.  \!

Într-adevăr,

D (\lambda y + \mu z) = \frac {d}{dx} (\lambda y + \mu z) = (\lambda y + \mu z)' = \lambda y' + \mu z' =   \!
= \lambda \frac {dy}{dx} + \mu \frac {dz}{dx} = \lambda D (y) +\mu D (z).  \!

Observăm că operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. Într-adevăr, de exemplu:

D^2 (\lambda x + \mu y) = (D \circ D) (\lambda x + \mu y) = D  [D (\lambda x + \mu y) ] = D [\lambda D(x) + \mu D (y)] =  \!
 = \lambda D [D(x)] + \mu D [D(y)] = \lambda D^2(x) + \mu D^2(y) \!

etc.

În sfârşit, observăm că operatorul L(D) este liniar,

 L (D)(\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x) D^k (\lambda y + \mu z ) = \sum_{k=0}^n a_k (x)  (\lambda D^k (y) + \mu D^k (z) ) = \!
 = \lambda \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(y)   + \mu \sum{k=0}^n a_k (x) D^k(z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z) \!

Dacă y,z \in S,  \! atunci   L (D)(y) = 0 \! şi  L (D)(z) = 0. \!

În continuare, avem:

 L(D) (\lambda y +\mu z) = \lambda L (D)(y) + \mu L (D)(z)=0, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb R,  \!

deci  \lambda y + \mu z \in S.  \! QED.

În spaţii de funcţii există un aparat specific pentru studiul liniar dependenţei (independenţei). Acest aparat se bazează pe noţiunea de wronskian.

Definiţia 1.3.3. Fie f_1, f_2, \cdots , f_n : I \rightarrow \mathbb R,  \! n funcţii de clasă  \mathfrak C^{(n-1)}  \! pe intervalul I. Se numeşte wronskian al acestor funcţii, următoarea funcţie:

 \mathcal W (x) = \mathcal W[f_1, f_2, \cdots , f_n] (x) = 
\begin{vmatrix}
f_1(x) & \cdots & f_n(x) \\
f'_1(x) & \cdots & f'_n(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
f_1^{(n)}(x) & \cdots & f^{(n-1)}_n (x)
\end{vmatrix}.


Propoziţia 1.3.2. Fie  f_i \in \mathfrak C^{(n-1)} (I), \; i= \overline{1, n}.  \! Dacă  f_1, f_2, \cdots , f_n \! sunt liniar dependente pe I, atunci  \mathcal W [f_1, f_2, \cdots , f_n](x) = 0, \; \forall x \in I. \!

Demonstraţie.

Prin ipoteză există n numere  \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n, \! nu toate nule, astfel încât

\lambda_1 f_1 (x) + \lambda_2 f_2 (x)+  \cdots + \lambda_n f_n (x) =0 , \; \forall x \in I.   \!   (3)

Derivând succesiv relaţia (3) de (n −1) ori obţinem:


\begin{cases}
\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0 \\
\lambda_1 f'_1(x) + \lambda_2 f'_2(x) + \cdots + \lambda_n f'_n(x) = 0 \\
\cdots \; \; \cdots \cdots \cdots \; \;  \cdots \\
\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0
\end{cases}, \; \forall x \in I.
  (4)

Am obţinut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar şi omogen în necunoscutele \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n.  \! Deoarece sistemul admite soluţie nebanală, rezultă că determinantul coeficienţilor este 0. Aşadar avem:

 \mathcal W (x)=  
\begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \\
\end{vmatrix}
=0, \; \forall x \in I.
\!

QED.

Propoziţia 1.3.3. Fie g, f_1, f_2 \cdots , f_n \in \mathfrak C^{(n)} (I).  \! Dacă

(i) \mathcal W [f_1, f_2, \cdots , f_n](x) \neq 0, \; \forall x \in I;  \!


(ii) \mathcal W [g, f_1, f_2, \cdots , f_n](x) = 0, \; \forall x \in I,  \!

atunci g este o combinaţie liniară de  f_1, f_2 \cdots , f_n  \! deci există C_1, C_2,  \cdots , C_n \in \mathbb R \! astfel încât

 g(x) = C_1 f_1(x) + C_2 f_2 (x) + \cdots +C_n f_n(x), \; \forall x \in I. \!
Demonstraţie. Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 .

Prin ipoteză, avem:


\begin{vmatrix}
g(x) & f_1(x) & f_2(x) \\
g'(x) & f'_1(x) & f'_2(x) \\
g''(x) & f''_1(x) & f''_2(x)
\end{vmatrix}
=0, \; \forall x \in I.
  (5)

Cum coloanele 2 şi 3 ale acestui determinant sunt liniar independente (deoarece, prin ipoteză, \mathcal W [f_1, f_2](x) \neq 0, \; \forall x \in I  \!), rezultă că prima coloană este o combinaţie liniară de acestea. Aşadar,  \forall x \in I,  \! există \lambda_1(x) , \lambda_2(x) \in \mathbb R,  \! astfel încât

 
\begin{cases}
g(x) = \lambda_1(x) f_1(x) + \lambda_2(x) f_2(x) \\
g'(x) = \lambda_1(x) f'_1(x) + \lambda_2(x) f'_2(x) \\
g''(x) = \lambda_1(x) f''_1(x) + \lambda_2(x) f''_2(x) \\
\end{cases}
  (6)

Ţinând seama că f_1, f_2 , g \in \mathfrak C^{(2)} I  \! şi că \mathcal W[f_1, f_2] \neq 0  \! pe I, din (6) deducem că  \lambda_1  \! şi \lambda_2  \! sunt funcţii derivabile pe I.

Derivând prima relaţie din (6) obţinem:

g'(x) = \lambda'_1(x) f_1(x) +  \lambda'_2(x) f_2(x) +  \lambda_1(x) f'_1(x) +  \lambda_2(x) f'_2(x)  \!

Pe de altă parte, ţinând seama de a doua relaţie din (6), deducem:

\lambda'_1(x) f_1(x) + \lambda'_2(x) f_2(x) = 0.  \!   (7)

În mod analog, derivând a doua relaţie din (6) şi ţinând seama de a treia relaţie, deducem:

\lambda'_1(x) f'_1(x) + \lambda'_2(x) f'_2(x) = 0.  \!   (8)

Am obţinut un sistem liniar şi omogen de două ecuaţii (ecuaţiile (7) şi (8)) în necunoscutele \lambda'_1(x)  \! şi \lambda'_2(x).  \! . Cum, prin ipoteză, determinantul coeficienţilor 
\begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) \\
f'_1(x) & f'_2(x)
\end{vmatrix}
este nenul, rezultă că sistemul admite numai soluţia banală. Aşadar, \lambda'_1(x) = 0, \; \lambda'_2(x) = 0, \; \forall x \in I.  \! Conform primei relaţii, din (6) avem:

g(x) = C_1 f_1(x) + C_2 f_2(x), \forall x \in I.  \!

QED.


Teorema 1.3.1. (Liouville) Fie y_1, y_2, \cdots , y_n \in \mathcal S  \!

n soluţii particulare ale ecuaţiei omogene (2), fie  x_0 \in I \! fixat şi fie  \mathcal W[x] = \mathcal W[y_1, y_2, \cdots , y_n](x).  \! Atunci

\mathcal W(x) = \mathcal W(x_0)e^{- \int_{x_0}^x \frac {a_1(t)}{a_0(t)}dt} . \!
Demonstraţie.

Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 . Fie y_1, y_2  \! două soluţii particulare ale ecuaţiei omogene  a_0(x)y'' + a_1(x)y' + a_2(x) y =0 .\! Atunci avem:

y''_i = - \frac {a_1(x)}{a_0(x)}y'_i - \frac {a_2(x)}{a_0(x)}y_i, \; i= 1, 2, \; x \in I.  \!   (9)

Pe de altă parte, derivând wronskianul \mathcal W (x)=
\begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \\
y'_1 & y'_2
\end{vmatrix},
obţinem:

\frac {d \mathcal W}{dx} = 
\begin{vmatrix}
y'_1 & y'_2 \\
y'_1 & y'_2
 \end{vmatrix}+

\begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \\
y''_1 & y''_2
 \end{vmatrix}=

\begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \\
y''_1 & y''_2
 \end{vmatrix}.

Ţinând seama de (9) şi de proprietăţile determinanţilor, rezultă:

\frac {d \mathcal W}{dx} =   
\begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \\
-\frac {a_1}{a_0}y'_1 - \frac {a_2}{a_0}y_1 & -\frac {a_1}{a_0}y'_2 - \frac {a_2}{a_0}y_2
\end{vmatrix} =

- \frac {a_1(x)}{a_0(x)}
\cdot
\begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \\
y'_1 & y'_2
 \end{vmatrix}

sau

\frac{d \mathcal W}{dx} = - \frac {a_1(x)}{a_0(x)} \mathcal W(x).  \!   (10)

Se verifică imediat, prin derivare, că ecuaţia diferenţială (10) admite soluţia:

 \mathcal W(x) = C e^{- \int_{x_0}^x \frac {a_1(t)}{a_0(t)}dt}, \!

unde C este o constantă oarecare. În particular, pentru  x=x_0,  \! rezultă că  C = \mathcal W(x_0) , \! deci

\mathcal W(x) = \mathcal W(x_0) e^{- \int_{x_0}^x \frac {a_1(t)}{a_0(t)}dt}.  \!

QED.

Definiţia 1.3.4. Se numeşte sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), orice set de n soluţii particulare y_1, y_2, \cdots , y_n \in \mathcal S,  \! cu proprietatea că există x_0 \in I,  \! astfel încât

\mathcal W [y_1, y_2,  \cdots , y_n](x_0) \neq 0.  \!

Corolarul 1.3.1. Dacă y_1, y_2,  \cdots , y_n \in \mathcal S  \! este un sistem fundamental de soluţii, atunci y_1, y_2,  \cdots , y_n  \! sunt liniar independente pe I.

Demonstraţie.

Fie x_0 \in I,  \! astfel încât  \mathcal W(x_0) \neq 0. \! Din Teorema Liouville rezultă că \mathcal W(x_0) \neq 0, \; \forall x \in I,  \! iar din Propoziţia 1.3.2, rezultă că y_1, y_2,  \cdots , y_n \! sunt liniar independente pe I. QED.


Teorema 1.3.2. Orice sistem fundamental de soluţii din S este o bază în spaţiul vectorial S.

Demonstraţie.

Fie  y_1, y_2,  \cdots , y_n \! un sistem fundamental de soluţii. Conform Corolarului 1.3.1, sunt liniar independente. Rămâne să arătăm că y_1, y_2,  \cdots , y_n  \! este un sistem de generatori pentru S. Deoarece y_1, y_2,  \cdots , y_n  \! sunt soluţii pentru (2), rezultă:


\begin{cases}
a_0(x)y^{(n)}_1 + a_1(x)y^{(n-1)}_1 + \cdots + a_{n-1}(x)y'_1 + a_n (x) y_1 = 0 \\
a_0(x)y^{(n)}_2 + a_1(x)y^{(n-1)}_2 + \cdots + a_{n-1}(x)y'_2 + a_n (x) y_2 = 0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_0(x)y^{(n)}_n + a_1(x)y^{(n-1)}_n + \cdots + a_{n-1}(x)y'_n + a_n (x) y_n = 0
\end{cases}
  (11)

Fie y \in \mathcal S  \! oarecare. Atunci y verifică ecuaţia (2), deci a_0(x)y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' + a_n (x) y = 0   (12)

Am obţinut un sistem liniar şi omogen de ecuaţii (ecuaţiile (11) şi (12)), în necunoscutele  a_0(x), a_1(x), \cdots , a_n(x) .\! Cum sistemul admite soluţie nebanală (a_0(x)\neq 0, \; \forall x \in I   ) , \! rezultă că determinantul coeficienţilor este 0. Aşadar, avem:


\begin{vmatrix}
y^{(n)} & y^{(n-1)} & \cdots & y' & y \\
y_1^{(n)} & y_1^{(n-1)} & \cdots & y'_1 & y_1 \\
y_2^{(n)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y'_2 & y_2 \\
\cdots \cdots \cdots \\
y_n^{(n)} & y_n^{(n-1)} & \cdots & y'_n & y_n
\end{vmatrix} = 0 , \; \forall x \in I.
  (13)

Egalitatea (13) este echivalentă cu \mathcal W[y, y_1,  \cdots , y_n](x) = 0, \; \forall x \in I.  \! Pe de altă parte, din Propoziţia 1.3.2, rezultă că \mathcal W[y, y_1,  \cdots , y_n](x) \neq 0, \; \forall x \in I.  \! Constatăm că sunt îndeplinite condiţiile Propoziţiei 1.3.3, deci există C_1, C-2, \cdots , C_n \in \mathbb R,  \! astfel încât  y= C_1 y_1 + C_2 y_2 + \cdots C_n y_n.  \! Mai mult, rezultă  \dim_{\mathbb R} \mathcal S =n.  \! QED.


Observaţia 1.3.1. Din Teorema 1.3.2, rezultă că dacă y_1, y_2, \cdots , y_n  \! este un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), atunci orice altă soluţie a ecuaţiei (2) este de forma

 y = C_1y_1 + C_2 y_2 + \cdots + C_n y_n, \!   (14)

unde C_i, \; i= \overline{1,n}  \! sunt constante arbitrare. Formula (14) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (2). Aşadar, pentru a găsi soluţia generală a ecuaţiei omogene (2) este suficient să găsim un sistem fundamental de soluţii particulare ale acesteia. În general, determinarea unui sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă este dificilă pentru ecuaţii cu coeficienţi variabili. Acest lucru este posibil însă în cazul ecuaţiilor cu coeficienţi constanţi, de care ne vom ocupa în continuare.

Fie ecuaţia

a_0y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y' + a_n y =0,  \!   (15)

unde a_i, \; i=\overline{1, n}  \! sunt constante reale, a_0 \neq 0.  \!

Căutăm soluţii ale ecuaţiei (15) de forma

y =e^{rx},  \!   (16)

unde r este o constantă reală ce urmează să fie determinată.

Punând condiţia ca funcţia dată de (16) să verifice ecuaţia (15), rezultă:

e^{rx}(a_0 r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_{n-1} r + a_n) =0.  \!

Se obţine astfel ecuaţia algebrică (17), care se numeşte ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale (2),

a_0 r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_{n-1} r + a_n  \!   (17)

Aşadar, am redus problema rezolvării ecuaţiei diferenţiale (15) la problema rezolvării ecuaţiei algebrice (17). Distingem următoarele cazuri:

Cazul 1.

Ecuaţia caracteristică (17) are rădăcini reale şi distincte. Fie r_1, r_2, \cdots , r_n \in \mathbb R,  \! rădăcinile ecuaţiei (17), r_i \neq r_j,  \! dacă  i \neq j. \! Atunci y_1 = e^{r_1 x}, \; y_2 =e^{r_2 x}, \cdots , y_n= e^{r_n x}  \! vor fi soluţii particulare ale ecuaţiei omogene (15). Calculând wronskianul lor, obţinem:

\mathcal W(x)=
\begin{vmatrix}
e^{r_1 x} & e^{r_2 x} & \cdots & e^{r_n x} \\
r_1 e^{r_1 x} &  r_2 e^{r_2 x} & \cdots & r_n e^{r_n x} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
r_1^{n-1} e^{r_1 x} & r_2^{n-1} & \cdots & r_n^{n-1}e^{r_n x}
\end{vmatrix}
=
e^{(r_1 + r_2 + \cdots + r_n) x} \cdot

\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
r_1 & r_2 & \cdots & r_n \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
r_1^{n-1} & r_2^{n-1} & \cdots & r_n^{n-1}
\end{vmatrix}=


 = e^{(r_1 + r_2 + \cdots + r_n) x} \cdot \prod_{1 \le j < i \le n} (r_i - r_j) \neq 0/ \!

Rezultă că aceste soluţii formează un sistem fundamental de soluţii, deci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (2) este

y= C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + \cdots + C_n e^{r_n x}.  \!

Exemplul 1.3.1. Să se afle soluția generală a ecuației diferențiale:

y''' - 2 y'' -5 y' + 6y =0.  \!

Ecuația caracteristică este r^3 - 2r^2 -5r +6=0.  \! și are rădăcinile r_1=-2, \; r_2=1, \; r_3=3.  \!

Soluția generală a ecuației diferențiale este

y= C_1 e^{-2x} + C_2 e^x + C_3 e^{3x}.  \!

Cazul 2. Ecuația caracteristică admite o rădăcină multiplă de ordin m \le n  \! Fie, de exemplu r_0  \! această rădăcină. Vom arăta că în acest caz ecuația diferențială (15) va admite următoarele soluții particulare:

 y_1 =e^{r_0 x}, \; y_2=xe^{r_0 x}, \cdots , \; y_m= x^{m-1} e^{r_0 x}. \!

Pentru început, demonstrăm următoarea lemă:

Lema 1.3.1. Pentru orice g \in \mathfrak C^{(k)}(I)  \! avem (D - rD^0)^k (e^{rx} g(x)) = e^{rx}g^{(k)}(x), \! unde D = \frac{d}{dx}  \! este operatorul de derivare și  D^0 \! este operatorul identitate.


Demonstrație.

Demonstrația se face prin inducție matematică. Pentru k=1 avem:

(D - rD^0) (e^{rx} g(x)) = re^{rx} g(x) + e^{rx}g'(x) - re^{rx}g(x) = e^{rx} g'(x).  \!

Presupunem afirmația adevărată pentru orice p <k și o demonstrăm pentru p +1.

(D - rD^0)^{p+1} (e^{rx} g(x)) = (D-rD^0) [(D-rD^0)^p](e^{rx}g(x)) =  \!

 = (D-rD^0)(e^{rx}g^{(p)}(x)) = re^{rx}g^{(p)}(x) + e^{rx}g^{(p+1)}(x) - re^{rx}g^{(p)}(x) = \! =e^{rx}g^{(p+1)}(x).  \!

Cu aceasta lema este demonstrată. QED.


Fie acum r_0  \! o rădăcină multiplă de ordinul m pentru ecuația caracteristică (17) și fie  F(r) = a_0 r^n + \cdots + a_{n-1}r + a_n,  \! membrul stâng al ecuației (17). Atunci F(r) = F_1(r) \cdot (r-r_0)^m,  \! unde F_1  \! este o funcție polinomială de gradul  n-m. \! Acestei descompuneri a polinomului caracteristic F(r)  \! îi corespunde următoarea descompunere a operatorului diferențial L(D):

L(D) = L_1(D) \circ (D -r_0 D^0)^m.  \!

Din Lema 1.3.1., pentru k<m avem:

L(D)(x^k e^{r_0 x}) = L_1(D)[(D- r_0D^0)^m(x^k e^{r_0x})] = L_1 (D) [e^{r_0x} \cdot (x^k)^{(m)}] = 0.  \!

Rezultă că  y=x^k e^{r_0 x} \! este soluție pentru ecuația diferențială (15), \forall k<m.  \!


Observația 1.3.2. Orice set de funcții de forma e^{rx}, \; xe^{rx}, \cdots , x^p e^{rx}  \! este liniar independent pe \mathbb R.  \! Într-adevăr, orice combinație liniară nulă a acestor funcții nu este posibilă decât dacă toți coeficienții combinației sunt nuli.   \!

Exemplul 1.3.2. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y'' + 4y' + 4y =0.  \!

Ecuaţia caracteristică este r^2 + 4r +4=0  \! şi are rădăcina dublă r_1=r_2=-2.  \! Ecuaţia admite soluţiile particulare: y_1 = e^{-2x}  \! şi y_2=xe^{-2x},  \! care sunt liniar independente, deci formează o bază. Soluţia generală este:

y= C_1 e^{-2x}+C_2xe^{-2x}.  \!

 Cazul 3. Ecuaţia caracteristică admite rădăcina complexă r=\alpha +i \beta, \; \beta \neq 0.  \!

În acest caz, vom arăta că ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare  y_1 = e^{\alpha x} \cos \beta x \! şi y_2 = e^{\alpha x} \sin \beta x.   \! Verificăm afirmaţia în cazul particular n=2. Presupunem că ecuaţia  a_0 r^2 + a_1 r+ a_2=0 \! admite rădăcina r_0= \alpha + i \beta, \; \beta \neq 0.  \! Atunci avem  a_0 (\alpha + i \beta)^2 + a_1 (\alpha + i \beta) + a_2 =0, \! de unde deducem că:


\begin{cases}
a_0(\alpha^2-\beta^2)+a_1 \alpha + a_2 =0 \\
2a_0\alpha\beta+ a_1\beta=0
\end{cases}
  (18)

Fie y_1=e^{\alpha x} \cos \beta x.  \! Atunci

y'_1=e^{\alpha x}(\alpha \cos \beta x - \beta \sin \beta x)  \!

şi y''_1 = e^{\alpha x}(\alpha^2 \cos \beta x- 2 \alpha \beta \sin \beta x - \beta^2 \cos \beta x).  \!

În continuare, avem:

a_0 y''_1 + a_1 y'_1 + a_2 y_1 = e^{\alpha x}[a_0(\alpha^2 \cos \beta x - 2 \alpha \beta \sin \beta x - \beta^2 \cos \beta x) +  \!
+ \alpha_1 (\alpha \cos \beta x - \beta \sin \beta x) + a_2 \cos \beta x ] = \!

= e^{\alpha x} [(a_0 (\alpha^2 - \beta^2) + a_1 \alpha + a_2) \cos \beta x - (2 a_0 \alpha \beta + a_1 \beta) \sin \beta x]=0,  \! în virtutea relaţiilor (18).

Aşadar, dacă \alpha + i \beta  \! este rădăcină pentru ecuaţia caracteristică, atunci y_1 = e^{\alpha x} \cos \beta x  \! este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15). Analog se arată că y_2 = e^{\alpha x} \sin \beta x \! este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15). Pe de altă parte, este evident că aceste soluţii y_1 = e^{\alpha x} \cos \beta x, \; y_2= e^{\alpha x} \sin \beta x  \! sunt liniar independente. Aşadar, în cazul particular n=2, soluţia generală este:  y=C_1 e^{\alpha x} \cos \beta x + C_2 e^{\alpha x} \sin \beta x. \!

În cazul când  \alpha + i \beta \! este rădăcină dublă pentru ecuaţia caracteristică, ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare e^{\alpha x} \cos \beta x, \; x e^{\alpha x} \cos \beta x, \; e^{\alpha x} \sin \beta x, \; x e^{\alpha x} \sin \beta x  \! etc.

Exemplul 1.3.3.

Also on Fandom

Random Wiki