Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuaţiile diferenţiale liniare neomogene, de ordinul întâi, sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

y' + P (x)y = Q (x),  \!   (1)

unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I.

Ecuaţia liniară omogenă asociată este

y' + P(x)y = 0.  \!   (2)

Observăm că ecuaţia omogenă (2) este o ecuaţie cu variabile separabile. Separând variabilele şi integrând, obţinem:

 \frac {dy}{y} = - P (x) dx, \; y \neq 0,  \!


 \ln |y| = - \int P (x) dx + \ln |\mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

şi mai departe

|y| = | \mathcal C | e^{- \int P(x)dx}, \;  \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

care este echivalentă cu

y =  \mathcal C  e^{- \int P(x)dx}, \;  \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

Deşi această soluţie s-a obţinut în ipoteza  y \neq 0, \! care presupune \mathcal C \neq 0,  \! observăm că ecuaţia (2) admite şi soluţia y = 0 care s-a pierdut la împărţirea cu y. Aşadar:

y= \mathcal C e^{- \int P(x)dx}, \mathcal C \in \mathbb R,  \!   (3)

reprezintă soluţia generală a ecuaţiei omogene (2).

Pentru a obţine soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) folosim metoda variaţiei constantei a lui Lagrange şi anume: căutăm soluţia ecuaţiei neomogene (4) de forma

y= \phi (x) e^{- \int P(x)dx} , \!   (4)

unde  \phi \! este o funcţie de clasă  \mathfrak C^{(1)} \! pe intervalul I. Pentru determinarea funcţiei  \phi  \! punem condiţia ca (4) să fie soluţie pentru ecuaţia (1) şi obţinem:

\phi' (x) e^{- \int P(x)dx} - \phi (x) P (x)e^{- \int P (x)dx} + P(x) \phi (x) e^{- \int P(x)dx} = Q (x).  \!

Efectuând calculele, rezultă:

 \phi' (x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}  \!

şi mai departe

\phi(x) = \int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx + \mathcal C.  \!

Înlocuind în (4) obţinem soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) şi anume:

y = e^{- \int P(x)dx} \left ( \mathcal C + \int Q(x) e^{\int P(x)dx}dx  \right ).  \!   (5)

Exemplul. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale

y' + y \sin x = - \sin x \cos x.  \!

Folosim formula (2) cu P(x) = \sin x  \! şi Q(x) =- \sin x \cos x . \! Înlocuind în (2), obţinem:

y= e^{\cos x} ( \mathcal C - \int \sin x \cos x e^{- \cos x} dx ) = e^{\cos x} (\mathcal C - e^{- \cos x} \cos x - e^{- \cos x}),  \!

deci y = \mathcal C e^{\cos x} - \cos x - 1.  \!

Also on Fandom

Random Wiki