Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială de tip Riccati

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuaţiile diferenţiale de tip Riccati sunt ecuaţii diferenţiale de forma

y' = P(x) y^2 + Q(x) y + R(x)  \!   (1)

unde P, Q şi R sunt funcţii continue pe un interval I.

În general, o ecuaţie de acest tip nu se poate integra prin cuadraturi. Astfel, încă din 1841, J. Liouville a demonstrat că există ecuaţii diferenţiale de tip Riccati care nu sunt „integrabile prin cuadraturi”, adică soluţiile lor nu pot fi exprimate ca primitive ale unor funcţii continue. De exemplu, ecuaţia Riccati foarte simplă:

y' = x^2 + y^2,  \!

nu este integrabilă prin cuadraturi.

Cel mai simplu şi mai cunoscut caz de integrabilitate a ecuaţiei Riccati este acela când se cunoaşte o soluţie particulară a acestei ecuaţii. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (1), anume y_p: J \subset I \rightarrow \mathbb R,  \! atunci efectuând schimbarea de funcţie y= y_p + \frac 1 z,  \! ecuaţia diferenţială se reduce la o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi.

Într-adevăr, derivând şi înlocuind în ecuaţia (1) obţinem:

y'_p - \frac {z'}{z^2} = P(x) \left ( y_p^2 + 2 \frac {y_p}{z} + \frac {1}{z^2} \right ) + Q(x) \left ( y_p + \frac 1 z  \right ) + R(x). \!

Ţinând seama că  y_p \! verifică ecuaţia (11), deci că

y'_p  = P(x) \cdot y^2_p + Q(x) \cdot y_p + R(x),  \!

rezultă


z' + [2 y_p P(x) +Q(x) ]z  = - P(x). \!   (2)

Se observă că ecuaţia diferenţială (2) este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi.

Observaţia 1.2.2. Se poate arăta că, orice ecuaţie diferenţială de tip Riccati de forma

y' = A y^2 + \frac B x y + \frac {C}{x^2},  \!

unde  A, B, C \in \mathbb R  \! satisfac condiţia  (B+1)^2 - 4 AC \ge 0,  \! admite o soluţie particulară de forma

y_p(x) = \frac c x, \; c \in \mathbb R.  \!

Exemplul 1.2.6. Să se integreze următoarea ecuaţie diferenţială de tip Riccati:  y' = - \frac 1 3 y^2 - \frac {2}{3 x^2}, \; x \in (0, \infty).  \!

Ţinând seama de observaţia 1.2.2, se constată că  y = \frac 1 x  \! este o relaţie particulară a ecuaţiei date. Facem schimbarea de funcţie  y= \frac 1 x + \frac 1 z  \! şi obţinem:

- \frac {1}{x^2} - \frac {z'}{z^2} = - \left ( \frac {1}{x^2} + \frac {2}{xz} + \frac {1}{z^2}  \right ) - \frac {2}{3x^2}.  \!

Rezultă următoarea ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi:

z' - \frac {2}{3x}z = \frac 1 3,  \!

a cărei soluţie generală este z = Cx^{\frac 2 3} + x.  \!

Soluţia generală a ecuaţiei Riccati este:

y = \frac 1 x + \frac {1}{Cx^{\frac 2 3} + x}, \; x \in (0, \infty).  \!

Also on Fandom

Random Wiki