Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială de tip Clairaut

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuaţiile diferenţiale de tip Clairaut sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

y= xy' + \phi (y'),  \!   (1)

unde  \phi  \! este o funcţie de clasă  \mathfrak C^{(1)}  \! pe un interval J.

Notând  y' = p  \;\! ecuaţia devine  y=x \cdot p + \phi (p).  \!

Derivând în raport cu x obţinem: p = p + x \frac {dp}{dx} + \phi' (p) \frac {dp}{dx},  \! deci

[ x+ \phi' (p)] \frac {dp}{dx} = 0.  \!

Dacă \frac {dp}{dx} = 0,  \! rezultă p = C şi mai departe

 y= Cx + \phi (C). \!   (2)

Familia de soluţii (2) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (1). Din punct de vedere geometric, curbele integrale corespunzătoare acestei soluţii sunt drepte. Pe de altă parte, din x+ \phi' (p) obţinem soluţia singulară (sub formă parametrică):


\begin{cases}
x = - \phi' (p)
\\
y= - p \phi' (p) + \phi (p)
\end{cases}
  (3)

Curba integrală corespunzătoare soluţiei singulare (3) este înfăşurătoarea familiei de drepte (2).

Exemplul 1.2.7. Să se integreze ecuaţia diferenţială de tip Clairaut:

y= xy' - \frac {y'^2}{2}.  \!

Soluţia generală este y= Cx - \frac {C^2}{2}, \; C \in \mathbb R.  \!

Ecuatii cu diferentiale exacte.png

Soluţia singulară sub formă parametrică este:


\begin{cases}
x = p
\\
y = \frac {p^2}{2}
\end{cases}

Eliminând pe p între cele două ecuaţii parametrice, obţinem  y= \frac {x^2}{2},  \! adică o parabolă, care este înfăşurătoarea familiei de drepte y = C x - \frac {C^2}{2}, \; C \in \mathbb R  \! (fig. 1).

Also on Fandom

Random Wiki