Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială de tip Bernoulli

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

1.2.4. Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli Edit

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

y' + P(x) y = Q(x)y y^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb R \setminus \{ 0, 1 \}.  \!   (1)

Presupunem că P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I. Împărţind cu y^{\alpha},  \! pentru  y \neq 0 ,\! obţinem:

y^{- \alpha} y' + P(x) y^{1 - \alpha} = Q(x).  \!

Dacă facem schimbarea de funcţie y^{1 - \alpha} = z,  \! unde z = z(x) este noua funcţie necunoscută, rezultă (1 - \alpha) y ^{- \alpha} \cdot y' = z'  \! şi mai departe

\frac {z'}{1- \alpha} + P(x)z = Q(x).  \!   (2)

Ecuaţia diferenţială (2) este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi şi se rezolvă ca în secţiunea 1.2.3.

Exemplul. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale :

y'  - \frac {y}{3x} = \frac 1 3 y^4 \ln x, \; x \in (0, \infty).  \!

Împărţind cu y^4 , \! pentru y \neq 0,  \! rezultă y^{-4} \cdot y' - \frac {1}{3x} y^{-3} =\frac 1 3 \ln x.  \! Dacă notăm cu z= y ^{-3},  \! atunci z' = - 3 y^{-4} y'  \! şi ecuaţia devine:

 z' + \frac 1 x z = - \ln x.  \!

Aceasta este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi, cu  P(x) = \frac 1 x   \! şi Q(x) = - \ln x.  \!

Folosind formula (*) obţinem:

 z =e^{- \ln x} ( \mathcal C - \int \ln x e^{\ln x} dx) = \frac 1 x (\mathcal C - \int x \ln x dx) \!

şi mai departe z = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x.  \! Aşadar avem:  y^{-3} = \frac {\mathcal C}{x} + \frac x 4 - \frac x 2 \cdot \ln x, \; x>0, \; y \neq 0.  \!

Diferite soluţii particulare se obţin precizând condiţiile iniţiale.

Also on Fandom

Random Wiki