Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială cu variabile separabile

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

O ecuaţie diferenţială cu variabile separabile este o ecuaţie diferenţială de forma:

f_1 (x) \cdot g_1 (y) \cdot y' + f_2 (x) \cdot g_2 (y) = 0.

unde f_1, f_2: I \subset \mathbb R \longrightarrow \mathbb R sunt funcţii continue, f_1 \neq 0 \! pe I, iar g_1, g_2 : J \subset \mathbb R \longrightarrow \! sunt funcţii continue, g_2 \neq 0 \! pe J, I şi J fiind intervale. Împărţind cu f_1 (x) \cdot g_2 (y), se separă variabilele şi ecuaţia devine:

\frac {g_1(y)}{g_2(y)} dy = - \frac {f_2 (x)}{f_1 (x)} dx   (2)

Integrând în ambii membri, obţinem:

\int \frac {g_1(y)}{g_2(y)}dy = - \int \frac {f_2(x)}{f_1(x)} dx + \mathcal C, \; \mathcal C \in \mathbb R.

Se obţine astfel soluţia generală sub formă implicită a ecuaţiei diferenţiale. Explicitând în raport cu y (dacă este posibil), se obţine o expresie de forma y=h(x, \mathcal C), \mathcal C \in \mathbb R, \! care este soluţia generală sub formă explicită a ecuaţiei diferenţiale (1).

Exemplul 1.2.1. Să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

(1+x^2) yy' + x(1+y^2) = 0 \!

care îndeplineşte condiţia iniţială y(1) = 2

Ecuaţia se pune sub forma echivalentă \frac {y}{1+y^2}dy = - \frac {x}{1+x^2} dx. Integrând, obţinem:

\int \frac {y}{1+y^2}= - \int \frac {x}{1+x^2}

deci

\frac 1 2 \ln (1+y^2) = - \frac 1 2 \ln (1+x^2) + \frac 12 \ln \mathcal C, \; \mathcal C >0.

Din condiţia iniţială y(1)= 2, obţinem C = 10 şi mai departe y=\pm \sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}. Evident, soluţia căutată este:

y=\sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}, \; x \in (-3, 3).

Exemplul 1.2.2. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale xy' = y, \; x>0, y>0. \!

Se observă că ecuaţia diferenţială dată se poate scrie sub forma echivalentă:

\frac {dy}{y} = \frac {dx}{x}.

Integrând în ambii membri, se obţine:

\ln y = \ln x + \ln {\mathcal C}, \; \mathcal C \in \mathbb R_+^*

sau y= \mathcal C x,\mathcal C \in \mathbb R_+^*.

Observăm că, deşi calculele sunt făcute în domeniul D=(0, \infty) \times (0, \infty), \! funcţia y= \mathcal C x, \; \mathcal C \in \mathbb R, verifică ecuaţia diferenţială pe \mathbb R^2 \!

Aşadar, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale date, este y= \mathcal C x, \;  \mathcal C \in \mathbb R.  \!

Also on Fandom

Random Wiki