Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială cu variabile separabile

751pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

O ecuaţie diferenţială cu variabile separabile este o ecuaţie diferenţială de forma:

f_1 (x) \cdot g_1 (y) \cdot y' + f_2 (x) \cdot g_2 (y) = 0.

unde f_1, f_2: I \subset \mathbb R \longrightarrow \mathbb R sunt funcţii continue, f_1 \neq 0 \! pe I, iar g_1, g_2 : J \subset \mathbb R \longrightarrow \! sunt funcţii continue, g_2 \neq 0 \! pe J, I şi J fiind intervale. Împărţind cu f_1 (x) \cdot g_2 (y), se separă variabilele şi ecuaţia devine:

\frac {g_1(y)}{g_2(y)} dy = - \frac {f_2 (x)}{f_1 (x)} dx   (2)

Integrând în ambii membri, obţinem:

\int \frac {g_1(y)}{g_2(y)}dy = - \int \frac {f_2(x)}{f_1(x)} dx + \mathcal C, \; \mathcal C \in \mathbb R.

Se obţine astfel soluţia generală sub formă implicită a ecuaţiei diferenţiale. Explicitând în raport cu y (dacă este posibil), se obţine o expresie de forma y=h(x, \mathcal C), \mathcal C \in \mathbb R, \! care este soluţia generală sub formă explicită a ecuaţiei diferenţiale (1).

Exemplul 1.2.1. Să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

(1+x^2) yy' + x(1+y^2) = 0 \!

care îndeplineşte condiţia iniţială y(1) = 2

Ecuaţia se pune sub forma echivalentă \frac {y}{1+y^2}dy = - \frac {x}{1+x^2} dx. Integrând, obţinem:

\int \frac {y}{1+y^2}= - \int \frac {x}{1+x^2}

deci

\frac 1 2 \ln (1+y^2) = - \frac 1 2 \ln (1+x^2) + \frac 12 \ln \mathcal C, \; \mathcal C >0.

Din condiţia iniţială y(1)= 2, obţinem C = 10 şi mai departe y=\pm \sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}. Evident, soluţia căutată este:

y=\sqrt {\frac {9-x^2}{1+x^2}}, \; x \in (-3, 3).

Exemplul 1.2.2. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale xy' = y, \; x>0, y>0. \!

Se observă că ecuaţia diferenţială dată se poate scrie sub forma echivalentă:

\frac {dy}{y} = \frac {dx}{x}.

Integrând în ambii membri, se obţine:

\ln y = \ln x + \ln {\mathcal C}, \; \mathcal C \in \mathbb R_+^*

sau y= \mathcal C x,\mathcal C \in \mathbb R_+^*.

Observăm că, deşi calculele sunt făcute în domeniul D=(0, \infty) \times (0, \infty), \! funcţia y= \mathcal C x, \; \mathcal C \in \mathbb R, verifică ecuaţia diferenţială pe \mathbb R^2 \!

Aşadar, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale date, este y= \mathcal C x, \;  \mathcal C \in \mathbb R.  \!

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki