Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie diferenţială

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

GAVRIIL PĂLTINEANU

PAVEL MATEI

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII

Bucureşti

2007

Referent ştiinţific:

prof. univ. dr. ILEANA TOMA

Universitatea Tehnică de Construcţii

Bucureşti




Lyap-not-proper.gif

PREFAŢĂ

Teoria ecuaţiilor diferenţiale şi a ecuaţiilor cu derivate parţiale reprezintă un domeniu fundamental al matematicii cu numeroase aplicaţii în diferite domenii ale ştiinţei şi tehnicii, precum:mecanică, astronomie, termodinamică, optică, elasticitate, chimie, biologie etc.

Necesitatea creării acestei teorii a început odată cu apariţia calculului diferenţial şi integral şi provine din faptul că numeroase fenomene şi procese din natură se modeleazămatematic prin ecuaţii diferenţiale sau prin ecuaţii cu derivate parţiale.

Iată câteva dintre aceste procese: mişcarea unui punct material într-un câmp conservativ, vibraţiile unui sistem oscilant, căderea liberă a corpurilor, deplasarea unei membrane elastice sub acţiunea unei încărcări continue, propagarea căldurii într-o bară, dezintegrarea radioactivă, creşterea populaţiei, diverse reacţii chimice etc.

Primele contribuţii notabile în teoria ecuaţiilor diferenţiale aparţin creatorilor analizei matematice Isaac Newton (1642-1727) şi G. M. Leibniz (1646-1716).

Pornind de la studiul problemelor de dinamică a punctului material, Newton a descoperit legea a doua a mecanicii:

 \vec F = m \cdot \vec a = m \cdot \frac {d \vec v}{dt}

, relaţie care reprezintă o ecuaţie diferenţială. Combinând această lege cu legea gravitaţiei, el a calculat orbitele planetelor şi a unor comete. Leibniz a fost condus la studiul ecuaţiilor diferenţiale de o problemă de geometrie, aşa numita problemă inversă a tangentelor, care constă în determinarea unei curbe plecând de la unele proprietăţi ale tangentei la curbă. Leibniz este cel care a introdus termenul de ecuaţie diferenţială.

Combinând această lege cu legea gravitaţiei, el a calculat orbitele planetelor şi a unor comete.

Leibniz a fost condus la studiul ecuaţiilor diferenţiale de o problemă de geometrie, aşa numita problemă inversă a tangentelor, care constă în determinarea unei curbe plecând de la unele proprietăţi ale tangentei la curbă. Leibniz este cel care a introdus termenul de ecuaţie diferenţială.

Lista matematicienilor care şi-au adus contribuţia la dezvoltarea teoriei ecuaţiilor diferenţiale continuă cu fraţii Johann şi Daniel Bernoulli, Euler, Laplace, Lagrange, Cauchy, Fourier, Poincaré, Picard, Liapunov, Volterra etc.

L. Euler a dat o primă definiţie clară a ecuaţiei diferenţiale, explicând şi în ce constă rezolvarea unei astfel de ecuaţii. După L. Euler, o ecuaţie diferenţială este o relaţie între x, y p =\frac {dy}{dx} şi rezolvarea ei constă în găsirea unei relaţii între x şi y care nu-l mai conţine pe p.

Dintre numeroasele rezultate obţinute de Euler în domeniul ecuaţiilor diferenţiale, amintim metoda de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul n cu coeficienţi constanţi, cu numeroase aplicaţii în mecanică şi fizică.

Problema existenţei şi unicităţii soluţiei unei ecuaţii diferenţiale a fost formulată şi rezolvată pentru prima oară de Cauchy şi ulterior simplificată de Lipschitz. Metoda aproximaţiilor succesive aparţine lui Picard, iar forma sa abstractă lui Stefan Banach.

Lucrarea de faţă conţine un minimum de cunoştinţe de bază din domeniul ecuaţiilor diferenţiale şi al ecuaţiilor cu derivate parţiale, care nu pot să lipsească din cultura matematică a unui inginer constructor.

Sunt prezentate următoarele capitole: Ecuaţii diferenţiale, Sisteme de ecuaţii diferenţiale, Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi, Serii Fourier, Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea, Elemente de calcul variaţional.

Am încercat să iniţiem pe cititori în procesul de modelare a proceselor de evoluţie prin ecuaţii diferenţiale sau ecuaţii cu derivate parţiale, în studiul existenţei şi unicităţii soluţiei unei asemenea ecuaţii, în însuşirea algoritmilor de calcul a soluţiei precum şi în interpretarea rezultatelor.

În cadrul fiecărui capitol sunt prezentate exemple rezolvate integral, care contribuie la o bună înţelegere a teoriei. Am fost preocupaţi tot timpul pentru a păstra un echilibru între rigoare şi accesibilitate.

Cartea se adresează în special studenţilor Universităţii Tehnice de Construcţii Bucureşti, dar în egală măsură şi altor categorii de studenţi din universităţi tehnice, precum şi unor specialişti din cercetare şi proiectare.

Mulţumim referentului ştiinţific, doamna prof. univ. dr. Ileana Toma, pentru observaţiile şi aprecierile făcute în urma citirii manuscrisului.


CAPITOLUL 1. ECUAŢII DIFERENŢIALE Edit

1.1. Noţiuni generale. Exemple. Teorema de existenţă şi unicitate Edit

Prin ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul n se înţelege orice relaţie de forma:

F(x, y, y', '', y^{(n)}) = 0 \!   (1)

unde x este variabila independentă, y = y (x) este funcţia necunoscută, y', y, ..., y(n) sunt derivatele funcţiei y şi F este o funcţie reală continuă definită pe un domeniu \Omega \subset \mathbb R^{n+1}

Dacă  F \in \mathfrak{C} [1] şi derivata parţială \frac {\delta F}{\delta y^{(n)}} \ne 0 pe \Omega \! atunci din teorema funcţiilor implicite rezultă că, local, ecuaţia (1) se poate pune sub forma

 y^{(n)} = f (x, y, y', y'', \cdots y^{(n-1)}) .   (2)

Ecuaţia diferenţială (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei (1).

Prin soluţie a ecuaţiei (1) [respectiv (2)] pe intervalul I \subset \mathbb R , se înţelege orice funcţie \phi : I \rightarrow \mathbb R de clasă \mathfrak {C}^{(n)} (I),[2] care verifică ecuaţia

 F (x, \phi (x) , \phi'(x), \cdots \phi^{(n)}(x) )= 0, \; \forall x \in I

respectiv

  \phi^{(n)}(x) = f (x, \phi(x) \phi'(x), \cdots \phi^{(n-1)}(x)) , \; \forall x \in I

Evident, se presupune că pentru orice x \in I \!, punctul .

 x, \phi(x), \phi'(x), \cdots \phi^{(n)}(x) \in \Omega

Graficul unei soluţii a ecuaţiei diferenţiale (1) se mai numeşte şi curbă integrală a acestei ecuaţii diferenţiale.

Cea mai simplă ecuaţie diferenţială se întâlneşte la calculul integral şi constă în aflarea primitivei unei funcţii. Într-adevăr, fiind dată funcţia continuă f: I \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R, dacă notăm cu y primitiva sa, atunci obţinem ecuaţia diferenţială:

 y' = f(x), \; x \in I   (3)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3) este:

 y(x )= F (x)  + \mathcal C   (4)

unde F este o primitivă a lui f pe I.

Constatăm că soluţia căutată nu este unică, ci există o infinitate de soluţii ale ecuaţiei (3). Soluţia (4) a ecuaţiei (3), care depinde de o constantă arbitrară C, se numeşte soluţia generală. Fiecare soluţie particulară se obţine din soluţia generală dacă dăm constantei C o valoare numerică concretă.

Numeroase probleme din ştiinţă şi tehnică se modelează matematic prin ecuaţii diferenţiale.

Exemplul 1.1.1. Să studiem căderea liberă a unui punct material, sub acţiunea forţei gravitaţionale. Alegem ca axă Oy dreapta verticală pe care se mişcă (cade) punctul; originea este la suprafaţa pământului, iar sensul pozitiv îl alegem în sus. Notăm cu y(t) coordonata punctului M la momentul t. Aşadar, variabila independentă este timpul t, iar funcţia necunoscută este y = y(t) \! .

De la mecanică ştim că acceleraţia este y''(t) \! ; pe de altă parte, se ştie că acceleraţia gravitaţională este constantă, se notează cu g şi este aproximativ egală cu 9,81 m/s2 . Cum acceleraţia gravitaţională este orientată în jos, în sistemul de coordonate ales, va avea semnul .

Egalând cele două acceleraţii ale punctului, obţinem ecuaţia diferenţială:

y''(t) = -g \!   (5)

După prima integrare, obţinem:

 y'(t) = -gt + \mathcal C_1 ,   (6)

iar după a doua integrare:

 y(t) = g \frac {t^2}{2} + \mathcal C_1 t + \mathcal C_2   (7)

Expresia (7) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (5) şi conţine două constante arbitrare \mathcal C_1 şi \mathcal C_2.

Din (6), pentru t = 0 , deducem:

\mathcal C_1 = y'(0) = v_0 - viteza iniţială a punctului.

Procedând asemănător în (7), obţinem:

\mathcal C_2 = y(0) = y_0 - poziţia iniţială a punctului.

Cu aceste notaţii, obţinem soluţia particulară:

y(t) = -g \frac {t^2}{2} + v_0 t + y_0 .   (8)

Aşadar, dacă cunoaştem poziţia iniţială y0 a punctului şi viteza sa iniţială v0, din (8) putem calcula poziţia punctului material în cădere liberă la fiecare moment t.

Exemplul 1.1.2. Se ştie că viteza de descompunere a radiului este direct proporţională cu cantitatea de radiu existentă. Să presupunem că în momentul t = 0 , avem R_0 \! grame de radiu. Să notăm cu R( t) cantitatea (în grame) de radiu existentă (rămasă) la momentul t > 0 şi cu c (c > 0 \! ) coeficientul de proporţionalitate. Suntem conduşi la ecuaţia diferenţială

 R'(t) = - c R (t) \!   (9)

Se verifică, prin derivare, că soluţia acestei ecuaţii diferenţiale este :

 R(t) = R_0 e^{-ct} \!   (10)

Exemplul 1.1.3.

Oscilatiile mici ale unui pendul.png

Să studiem oscilaţiile mici ale unui pendul (fig. 1). Notăm cu y(t) unghiul format de pendul cu axa verticală la momentul t, cu l lungimea pendulului şi cu g acceleraţia gravitaţională. Asupra punctului material P de masă m acţionează forţa gravitaţională '\vec F \!, de mărime |\vec F| = mg \! care se descompune în componentele \vec F_1 \! şi \vec F_2 \! de mărimi |\vec F_1| = mg \cos \phi şi |\vec F_2| = mg \sin \phi.

Presupunând firul inextensibil, acţiunea forţei \vec F \! se reduce la componenta \vec F_2. Observăm că \vec F_2 este orientată spre origine şi este tangentă la arcul de cerc \widehat {OP} \! . Lungimea arcului \widehat {OP} \! este egală cu ly(t) \!, de unde deducem că acceleraţia unghiulară va fi ly''(t) \!. Din legea a doua a lui Newton, rezultă că:

ml \cdot y''(t) = - |\vec F_2| = -mg \sin y(t).

Deoarece pentru oscilaţii mici (adică valori mici ale lui y), putem aproxima \sin y \approx y \! , mai departe obţinem ecuaţia:

 y^n (t) + \frac g l y(t) = 0   (11)

Se poate arăta că, soluţia generală a acestei ecuaţii diferenţiale este

 y(t) = A \cos \left ( \sqrt {\frac g l} t + \phi\right )   (12)

unde A şi \phi \! sunt nişte constante arbitrare.

Exemplul 1.1.4. Să analizăm mişcarea unui punct material de masă m care se deplasează pe axa Ox sub acţiunea unei forţe elastice \vec F \! orientată spre origine. Dacă notăm cu x(t) distanţa de la punctul material la origine, la momentul t > 0 , atunci, din legea a doua a lui Newton, rezultă că:

m \ddot x (t) = F \!

Pe de altă parte, F fiind o forţă elastică, este de forma F = - \omega^2 x(t) \!. Obţinem astfel ecuaţia diferenţială a oscilatorului armonic:

  m \ddot x (t) + \omega^2 x(t) = 0   (13)

Soluţia generală este de forma:

x(t) = A \cos (\omega t + \phi), \; A \ge 0,

unde A şi \phi \! sunt nişte constante arbitrare.

În ipoteza suplimentară a existenţei unei forţe de frecare proporţională cu viteza, de forma  - k \cdot \dot x(t) şi a unei forţe exterioare f(t) aplicată punctului material, se obţine o ecuaţie diferenţială mai complicată şi anume:

m \ddot x (t) + k \dot x (t) + \omega^2 x(t) = f (t)   (14)

Exemplul 1.1.5.

Geometria unei oglinzi.png

Să studiem geometria unei oglinzi care are proprietatea că reflectă razele luminoase provenite de la o sursă punctuală O, sub forma unui fascicol paralel cu o direcţie dată.

Alegem punctul O ca origine a axelor de coordonate, axa Ox dreapta paralelă cu fascicolul şi dreapta Oy perpendiculară pe Ox (fig. 2). Fie y = y (x), curba de intersecţie dintre corpul oglinzii şi planul xOy. Fie P(x,y) un punct de pe curbă, fie T punctul de intersecţie dintre tangenta în P la curbă şi axa Ox şi fie PR perpendiculara pe tangentă în punctul P. Cum PQ este paralelă cu Ox rezultă că \angle QPT' = \angle OTP = \alpha. Ţinând seama că unghiul de incidenţă \omega_i \! este egal cu unghiul de reflexie \omega_r \!, deducem că \theta = \angle OPT = 90^\circ - \omega_i = 90^\circ - \omega_r =  \alpha, deci \angle xOP = 2 \alpha. Aşadar, panta dreptei OP este \tan {2 \alpha} \frac y x. Pe de altă parte, panta dreptei PT, este \tan \alpha = y' (x) \! Cum \tan {2 \alpha} = \frac {2 \tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha}, rezultă ecuaţia diferenţială:

\frac {2y'}{1 - y'^2} = \frac y x.,

care se mai scrie sub forma:

2x= y (\frac {1}{y'} - y').

Derivând această ecuaţie în raport cu y şi ţinând seama că \frac {dx}{dy} = \frac {1}{y'}, obţinem:

2 \cdot \frac {1}{y'} = \frac {1}{y'} + y (- \frac {1}{y'^2} \cdot \frac {dy'}{dy} - \frac {dy'}{dy})

şi mai departe

\frac {1}{y'} + y' = - \frac {dy'}{dy} (1 + \frac {1}{y'^2})

sau

\frac {1+y'^2}{y'} = - y \cdot \frac {dy'}{dy} \cdot \frac {1 + y'^2}{y'^2}.

Simplificând cu y' \! şi cu 1+ y'^2 \!, rezultă:

1=- \frac {y}{y'} \frac {dy'}{dy},

deci

\frac {dy'}{y'} = \frac {dy}{y}.

După o primă integrare, obţinem

\ln |y'| = \ln |y| + \ln \mathcal C_1, \; \mathcal C_1 >0,

sau yy' = \mathcal C_1 respectiv yy' = - \mathcal C_1. După încă o integrare, rezultă \frac {y^2}{2} = \mathcal C_1 x + \mathcal C_2, deci

y^2 = 2 \mathcal C_1 x + 2 \mathcal C_2

Aşadar, am obţinut o familie de parabole.

Fie M punctul de intersecţie al curbei y=y(x) \! cu axa Oy. Deoarece triunghiul OMT este dreptunghic isoscel, rezultă că \alpha = 45^\circ, deci y'(0) = 1 \!. Dacă în (16) facem x = 0, obţinem

 \mathcal C_2 = \frac {y^2 (0)}{2}   (17)

Pe de altă parte, derivând (16), rezultă:

yy' = \mathcal C_1

Cum y'(0) = 1 \! , rezultă y(0)= \mathcal C_1 şi mai departe \mathcal C_2  = \frac {\mathcal C_1^2}{2} Prin urmare, soluţia generală a ecuaţiei (15) este:

 y^2 = 2 \mathcal C_1 x + \mathcal C_1^2   (18)

care reprezintă din punct de vedere geometric o familie de parabole simetrice faţă de axa Ox.

Focarul acestor parabole coincide cu originea O a axelor de coordonate. Dacă fixăm şi rotim parabola în jurul axei Ox, obţinem paraboloidul de rotaţie:

 y^2 + z^2 = 2 \mathcal C_1 (x+ \frac {\mathcal C_1}{2}) .

Aşadar, oglinda are forma unui paraboloid de rotaţie.

Aşa cum am văzut şi în exemplele prezentate, o ecuaţie diferenţială poate avea o infinitate de soluţii. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul întâi sub formă normală:

 y' = f (x, y) \!   (19)

unde f este o funcţie continuă definită pe mulţimea deschisă D \subset \mathbb R^2

Pentru a izola o anumită soluţie a ecuaţiei (19), se impune o condiţie iniţială şi anume: pentru x= x_0 \! soluţia să ia valoarea y_0 \! . Din punct de vedere geometric, aceasta revine la găsirea curbei integrale care trece prin punctul M (x_0, y_0)  \in D .

Definiţia 1.1.1. Se numeşte problema Cauchy pentru ecuaţia diferenţială (19) şi punctulM_0 (x_0, y_0) \in D, problema care constă în determinarea unei soluţii y= \phi (x), \; x \in I, , a ecuaţiei diferenţiale (19), care verifică condiţia iniţială:

\phi (x_0) = y_0 \!   (20)

Lema 1.1.1. Rezolvarea problemei Cauchy (19) - (20) este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiei integrale:

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f [t, y(t)] dt}, \; x \in I   (21)
Demonstraţie. Într-adevăr, dacă y= \phi (x), \; x \in I, este soluţie pentru problema Cauchy (19) - (20), atunci:
\phi' (t) = f [t, \phi (t)], \; \forall \; t \in I şi \phi (x_0) = y_0. \!

Integrând prima identitate, obţinem:

\phi (x) - \phi (x_0) = \int_{x_0}^x {\phi' (t) dt} = \int_{x_0}^x {f[t, \phi (t)]dt}, \; \forall \; x \in I, deci y= \phi (x), \; x \in I , este

soluţie pentru ecuaţia integrală (21).

Reciproc, dacă y= \phi (x) , \; x \in I , \! , este soluţie pentru ecuaţia integrală (21), atunci:

\phi (x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f[t, \phi (t)] dt} , \; \forall \; x \in I.

Evident \phi (x_0) = y_0 .\! Pe de altă parte, prin derivare obţinem:

\phi' (x) = f[x, \phi (x)], \; \forall x \; \in I ,

deci y= \phi (x) , \; x \in I , \! este soluţie pentru problema Cauchy (19) - (20). \Box \!

Definiţia 1.1.2. O funcţie f : D \subset \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \! se numeşte lipschitziană în raport cu y, în domeniul D, dacă există o constantă L \ge 0 \! astfel încât |f(x_1, y_1) - f (x_2, y_2)| \le L |y_1 - y_2| , oricare ar fi punctele (x_1, y_1) \! şi (x_2, y_2) \! din D.

Observaţia 1.1.2. Dacă mulţimea D \subset \mathbb R^2 este deschisă şi convexă, f \in \mathfrak C^{(1)} (D) \! şi \frac {\delta f}{\delta y} \! este mărginită pe D, atunci f este lipschitziană în raport cu y pe D.

Într-adevăr, fie M > 0 astfel încât

f (x, y_1) - f (x, y_2) = \frac {\delta f} {\delta y} (x, \xi) (y_1 - y_2) ,

unde (x, \xi) \! este un punct interior pe segmentul de dreaptă inclus în D, de capete (x, y_1) \! şi (x, y_2) \!. Aşadar, avem:

|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le M |y_1 - y_2|,  \; \forall \; (x, y_1) şi (x, y_2) \!

din D, deci f este lipschitziană pe D.

Teorema 1.1.1. (Teorema de existenţă şi unicitate)

Fie f o funcţie reală continuă, definită pe dreptunghiul \overline D =  [ x_0 - a, x_0 + a ] \times [ y_0 - b, y_0 + b ] , \; a>0, \; b>0.

Dacă f este lipschitziană în raport cu y, pe \overline D \! atunci există o soluţie unică y = \phi (x), \; x \in I \subset (x_0 - a, x_0 + a) , pentru problema Cauchy

y' = f (x, y) , \; (x, y) \in D ,
y(x_0) = y_0. \!
Demonstraţie. Pentru început, vom arăta că există o soluţie a problemei Cauchy.

Conform Lemei 1.1.1, aceasta revine la a arăta că există o soluţie a ecuaţiei integrale (21). Demonstraţia se bazează pe metoda aproximaţiilor succesive a lui Picard, care nu numai că stabileşte existenţa soluţiei, dar ne dă şi un procedeu de construcţie (aproximativ) a acestei soluţii. Cum f este continuă pe mulţimea compactă \overline D \! , rezultă că f este mărginită pe \overline D \!. Fie M > 0 astfel încât |f (x, y)| \le M , \; \forall  \; (x, y) \in \overline D . Dacă notăm cu L constanta lui Lipschitz pe \overline D \!, atunci, pentru orice două puncte (x, y_1) \! şi (x, y_2) \! din \overline D \! , avem:

Teorema de existenta.png
| f (x, y_1) - f (x, y_2) | \le M |y_1 - y_2|.   (22)

Fixăm un număr \alpha \in (0, 1), notăm cu h= \min \left \{ a, \frac b M, \frac {\alpha}{L} \right \} şi cu I intervalul [x_0 - h, x_0 +h ] \!. Evident, I \subset (x_0 - a, x_0 +a). \!

Definim prima aproximaţie y_1 = y_1 (x), \; x \in I , astfel:

y_1 (x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f (t, y_0) dt} , \; x \in I.

Deoarece f este continuă, rezultă că y este continuă pe I. Pe de altă parte, pentru orice x \in I \! , avem:

| y_1 (x) - y_0 | \le \left | \int_{x_0}^x{|f(t, x_0)|dt} \right | \le M \left | \int_{x_0}^x {dt} \right | = M |x- x_0| \le Mh \le M \cdot \frac b M = b.

Aşadar, y_1 : I \rightarrow [y_0 - b, y_0 + b], deci (t, y_1(t)) \in \overline D , \; \forall \; t \in I.

Construim aproximaţia a doua y_2 = y_2 (x) \! astfel:

y_2(x)=y_0 + \int_{x_0}^x {f(t, y_1 (t)) dt}, \; x \in I

Din continuitatea funcţiilor f şi y_1 \!, rezultă continuitatea lui y_2 \!. Observăm că:

|y_2(x) - y_0| \le \left |  \int_{x_0}^x {|f (t, y_1 (t))| dt} \right | \le M |x - x_0| \le Mh \le b,
y_2(x) \in [y_0 - b, y_0 + b], \; \forall \; x \in I

sau (t, y_2 (t)) \in \overline D, \; \forall \; x \in I

În general, definim aproximaţia de ordinul n, astfel:

y_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x {f (t, y_{n-1}(t)) dt}, \; x \in I

şi constatăm că y_n \! este o funcţie continuă pe I cu valori în intervalul [y_0 - b, y_0 +b], \! deci (t, y_2 (t)) \in \overline D, \; \forall \; x \in I.

Procedeul continuă nedefinit.

Şirul de funcţii y_n: I \rightarrow [y_0 - b, y_0 + b], \; n \in \mathbb N^*, definit prin formula (23), poartă numele de şirul aproximaţiilor succesive.

Considerăm următoarea serie de funcţii pe I:

 y_0 + (y_1 - y_0) + \cdots + (y_n - y_{n-1}) + \cdots   (24)

şi observăm că şirul sumelor sale parţiale (s_n)_n \! este chiar (y_n)_n, \!

s_n (x) = y_n (x), \; \forall \; x \in I

Dacă vom arăta că seria (24) este uniform convergentă pe I, va rezulta că şirul (y_n)_n \! este uniform convergent pe I. Folosind ipoteza că funcţia f este lipschitziană pe \overline D \! în raport cu y, avem:

| y_2 (x) - y_1 (x) | = \left |  \int_{x_0}^x  | f(t, y_1 (t)) - f (t, y_0 (t)) | dt \right | \le  L \left | \int_{x_0}^x {|y_1 (t) - y_0|dt} \right | \le
\le LM  \left | \int_{x_0}^x {|t - x_0|dt} \right | = LM \frac {|x - x_0|^2}{2} \le \frac {LM}{2 !} h^2

Aşadar, avem:

|y_2 (x) - y_1 (x)| \le \frac {LM}{2 !} |x - x_0|^2, \; \forall \; x \in I   (25)

Folosind din nou faptul că f este lipschitziană şi ţinând seama de (25), rezultă:

|y_3 (x) - y_2 (x)| = \left | \int_{x_0}^x {|t- x_0|^2} dt \right | = \frac {L^2 M}{3 \cdot 2!} |x - x_0|^3,

deci:

|y_3 (x) - y_2 (x) | \le \frac {L^2 M}{3!} |x - x_0|^3, \; \forall \; x \in I   (26)

În general avem:

|y_n (x) - y_{n-1} (x)| \le \frac {L^{n-1} M}{n!} |x - x_0|^n  \le \frac {L^{n-1} M}{n!} h^n, \; \forall \; x \in I.   (27)

Observăm că seria numerică \sum_{n=1}^{\infty} \frac {M \cdot L^{n-1}}{n !} este convergentă, aşa cum rezultă din criteriul raportului:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac {u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {M \cdot L^n}{(n+1) !} h^{n+1} \cdot \frac {n!}{M \cdot L^{n-1} h^n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {Lh}{n+1} = 0 < 1

Conform (27), seria de funcţii (24) este majorată pe intervalul I de o serie numerică convergentă, deci seria (24) este uniform convergentă pe I, conform criteriului lui Weierstrass.

Aşadar, am demonstrat că şirul aproximaţiilor succesive (23) este uniform convergent pe intervalul I. Notăm cu \phi \! limita acestui şir. Cum y_n \overset{u}{\underset{I}{\rightarrow}} \phi şi y_n \! sunt funcţii continue pe I, rezultă că \phi \! este, de asemenea, continuă pe I.

Pe de altă parte, avem:

\left |   \int_{x_0}^x | f (t, y_{n-1}(t)) - f (t, \phi (t)) | dt  \right | \le L \left | \int_{x_0}^x |y_{n-1}(t) - \phi (t)| dt  \right | \le
\le L \| y_n- \phi  \|_{\infty}  \le  Lh \cdot \|  y_n - \phi \|_{\infty}

unde am notat cu

\| y_n - \phi  \|_{\infty}  = \sup \{  |y_{n-1}(x) - \phi (x)  | ; \; x \in I \}.

Faptul că y_n \overset{u}{\underset{I}{\rightarrow}} \phi revine la a spune că:

\lim \|  y_n - \phi \|_{\infty}

Din această observaţie şi din (28) deducem că:

\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{x_0}^x f(t, \phi (t)) dt, \; \forall \; x \in I,


deci \phi \! este soluţie pentru ecuaţia integrală (21) şi cu aceasta am dovedit existenţa soluţiei problemei Cauchy.

Pentru a demonstra unicitatea acestei soluţii, să presupunem ar mai exista o soluţie \psi \! astfel încât:

\psi (x) = y_0 + \int_{x_0}^x f (t, \psi (t))dt , \forall \; x \in I.

În continuare, pentru orice x \in I \!, avem:

| \phi (x) - \psi (x) | \le \left | \int_{x_0}^x | f(t, \phi (t)) - f(t, \psi (x)) | dt   \right | \le

\le  L \left | \int_{x_0}^x | \phi (t) - \psi (t) | dt  \right |  \le  L \|  \phi - \psi \|_{\infty} \cdot h.

Ţinând seama de definiţia lui h, deducem:

\| \phi - \psi  \|_{\infty} = \sup \{ | \phi(x) - \psi(x) |; x \in I  \}  \le L \|  \phi - \psi \|_{\infty} \cdot \frac {\alpha}{L} = \alpha \cdot \| \phi - \psi \|_{\infty}.

Cum \alpha \in (0, 1) , \! această inegalitate nu este posibilă decât dacă \| \phi - \psi  \|_{\infty} deci dacă \phi \equiv \psi şi cu aceasta unicitatea este dovedită. \Box \!

Exemplul 1.1.6. Să se rezolve problema Cauchy

y' = y , \; (x, y) \in D = \left [ - \frac 1 2 , \frac 1 2  \right ] \times  \left [ \frac 1 2, \frac 3 2  \right ] ,
y(0)= 1 \!

Avem f(x, y) = y, \; (x, y) \in D, \; x_0 = 0, \; y_0= 1, \; a=b= \frac 1 2, \; M= \frac 3 2 şi L = 1 \!

Dacă alegem \alpha = \frac 1 2, atunci h= \min \left ( \frac 12, \frac 13, \frac 12  \right ) = \frac 13, deci I= \left  [  -\frac 13, \frac 13  \right ]

Şirul aproximaţiilor succesive arată astfel:

y_1(x)= 1+ \int_0^x 1 dt = 1+x,
y_2(x)= 1+ \int_0^x {1+t} dt = 1+x + \frac {x^2}{2},
y_3(x)= 1+ \int_0^x {1+t + \frac {t^2}{2}} dt = 1+x + \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3},

\cdots \cdots \cdots

y_n(x) = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \cdots + \frac {x^n}{n!}, \; x \in I,

\cdots \cdots \cdots

Cum e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^n}{n!}, \; \forall \; x \in \mathbb R, convergenţa seriei este uniformă şi (y_n)_n \! este şirul sumelor parţiale ale seriei, rezultă că

yn
u
 \phi \!
 \longrightarrow
I
,

unde \phi (x) = e^x, \; x \in \mathbb R.

Observaţia 1.1.2. În exemplul precedent am putut afla limita şirului aproximaţiilor succesive. De regulă, acest lucru nu este posibil şi de aceea se aproximează limita acestui şir cu aproximaţia de ordinul n, adică cu funcţia y_n \! definită în (23).


Exemplul 1.1.7. Să se rezolve problema Cauchy

y' = x^2 + y^2, \; (x, y) \in D = (-1, 1)\times (-1, 1),
y(0) = 0

Avem a = b = 1 , x_0 = y_0  0. Dacă alegem \alpha = \frac 12, \! atunci h= \min \left ( 1, \frac 12, \frac 12  \right ) = \frac 12, deci I = \left [  - \frac 12, \frac 12 \right ]. Şirul aproximaţiilor succesive arată astfel:

y_1 (x) = \int_0^x t^2 dt = \frac {x^2}{3},
y_2 (x) = \int_0^x \left ( t^2 + \frac {t^6}{9} \right ) dt = \frac {x^3}{3} + \frac {x^7}{63},
y_3 (x) = 1 + \int_0^x \left [ t^2 + \left ( \frac {t^3}{3} + \frac {t^7}{63}  \right )
62  \right ] dt = \frac {x^3}{3} + \frac {x^7}{63} + \frac {2 x^{11}}{2079} + \frac {x^{15}}{5935}, \; x \in I, \cdots

Putem aproxima soluţia problemei Cauchy cu y_3 \!, deci

\phi (x) \approx \frac {x^3}{3} + \frac {x^7}{63} + \frac {2 x^11}{2079} + \frac {x^15}{59535}, \; x \in \left [  -\frac 12, \frac 12 \right ]

În continuare, vom evalua eroarea care se face în metoda aproximaţiilor succesive.

Teorema 1.1.2. În condiţiile şi cu notaţiile Teoremei 1.1.1, avem:

|\phi (x - y_n (x)| \le  \frac {M \cdot L^n h^{n+1}}{(n+1)!} e^{Lh}, \; \forall \; x \in I,

unde \phi \! este soluţia exactă a problemei Cauchy, iar y_n \! este aproximanta de ordinul n.

Demonstraţie.

Din (27) deducem:

| y_{n+p}(x) - y_n (x) |  =  | (y_n - y_{n+1}) + (y_{n+1} - y_{n+2}) + \cdots + (y_{n+p-1} - y_{n+p}) | \le
\le \frac {ML^n h^{n+1}}{(n+1)!} + \frac {M L^{n+1} h^{n+2}}{((n+2)!} + \cdots + \frac {M L^{n+p-1} h^{n+p}}{(n+p)!} =

= \frac {M L^n h^{n+1}}{(n+1)!} \left ( 1+ \frac {Lh}{n+2} + \frac {(Lh)^2}{(n+2)(n+3)} + \cdots + \frac {(Lh)^{p-1}}{(n+2) \cdots (n+p)} \right ) < = \frac {ML^n H^{n+1}}{(n+1)!} ( 1+ \frac {Lh}{1!} + \frac {(Lh)^2}{2!} + \cdots + \frac {(Lh)^{p-1}}{(p-1)!}  + \frac {(Lh)^p}{p!})

Aşadar, avem:

|y_{n+p}(x) - y_n (x)| < \frac {ML^n h^{n+1}}{(n+1)!} \left (  1+ \frac {Lh}{1!} + \frac {(Lh)^2}{2!} + \cdots + \frac {(Lh)^{p-1}}{(p-1)!} + \frac {(Lh)^p}{p!} \right ) , \; \forall \; x \in I.

Trecând la limită după p ( p \rightarrow \infty ) \! în ultima inegalitate, obţinem:

| \phi (x) - y_n (x) | \le \frac {M \cdot L ^n h^{n+1}}{(n+1)!} e^{Lh}, \; \forall \; x \in I.

QED

Definiţia 1.1.3. Fie ecuaţia diferenţială

y'= f(x, y), \; (x, y) \in \Omega \subset \mathbb R^2.

Presupunem, în plus, că în domeniul \Omega \! sunt îndeplinite condiţiile teoremei de existenţă şi unicitate. Prin soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (29) în domeniul \Omega \!, se înţelege o familie de soluţii y= \phi(x, C), \; x \in I, unde C este o constantă arbitrară, cu proprietăţile:

a) (x, \phi (x, C)) \in \Omega, \; \forall C; b) \frac {\delta \phi}{\delta x} = f [x, \phi (x, C)], \; \forall x\in I, \; \forall C; c) Pentru orice punct (x_0, y_0) \in \Omega , există o constantă unică C0 astfel încât

\phi (x_0, y_0) = y_0. \!

Exemplul 1.1.8. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y' =1 , \; (x, y) \in \mathbb R, este y= x + C, \; x \in \mathbb R, unde C este o constantă reală oarecare. Într-adevăr, în acest caz f(x, y) = 1, \; \forall (x, y) \in \mathbb R^2 şi este evident că sunt îndeplinite condiţiile de existenţă şi unicitate din Teorema 1.1.1. Pe de altă parte, avem (x + C)' = 1 \! şi \forall (x_0, y_0) \in \mathbb R^2 există o constantă unică C_0 = y_0 - x_0 \! astfel încât y_0 = x_0 + C_0 \!

Definiţia 1.1.4. Prin soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (29) se înţelege o soluţie a sa obţinută din soluţia generală a ecuaţiei (29), prin particularizarea constantei C.


În exemplul 1.1.8, pentru C_1 = 0, \; C_2 = 1, \; C_3 = -1 etc, obţinem soluţiile particulare y_1 = x, \; y_2 = x+1, \; y_3 = x-1 etc.


Observaţia 1.1.3. Teorema 1.1.1 are un caracter local, în sensul că, dacă într-o vecinătate a punctului M (x_0, y_0) \! funcţia f este continuă şi lipschitziană în raport cu y (în particular, are derivata parţială în raport cu y mărginită), atunci problema Cauchy admite o singură soluţie a cărei curbă integrală trece prin punctul M.


Observaţia 1.1.4. De regulă, soluţia generală nu se obţine sub formă explicită din Definiţia 1.1.3, ci trebuie gândită ca soluţia implicită y= \phi (x, C) \! definită de ecuaţia \Phi (x, y, C) = 0 \! obţinută prin integrarea ecuaţiei diferenţiale (29). Ecuaţia \Phi (x, y, C) = 0 \! se mai numeşte şi integrala generală (sau completă) a ecuaţiei diferenţiale (29). Ecuaţia \Phi (x, y, C_0) = 0 \! obţinută prin particularizarea constantei C, se mai numeşte şi integrală particulară.


Definiţia 1.1.5. Se numeşte soluţie singulară a unei ecuaţii diferenţiale, o soluţie a acestei ecuaţii care are proprietatea că, în orice punct al curbei sale integrale, nu sunt satisfăcute condiţiile de unicitate.

Aceasta revine la a spune că pentru orice punct (x_0, y_0) \! al curbei integrale a acestei soluţii, există o altă soluţie a ecuaţiei diferenţiale, a cărei curbă integrală trece prin acest punct şi este diferită de aceasta. Din Definiţia 1.1.5 deducem că soluţiile singulare se caută în punctele unde nu sunt satisfăcute condiţiile Teoremei 1.1.1. Dacă f este continuă, atunci soluţiile singulare trebuie căutate în punctele unde f nu este lipschitziană, de exemplu, în punctele unde \frac {\delta y}{\delta y} \! nu este mărginită.

Exemplul 1.1.9. Fie ecuaţia diferenţială

y' = 3 y^{\frac 2 3}, \; (x, y) \in \mathbb R^2.

Avem f(x, y) = 3 y^{\frac 2 3}, \; \forall (x, y) \in \mathbb R^2. Evident, f este continuă pe \mathbb R^2 \!. Cum \frac {\delta y}{\delta y} = 2 y ^{\frac 1 3}, rezultă că \frac {\delta f}{\delta y} nu este mărginit pe axa Ox (y = 0). Pe de altă parte, este evident că y = 0 este o soluţie a ecuaţiei (30). Aşadar, y = 0 este o soluţie singulară a ecuaţiei (30).

Familie de curbe, solutie a unor ecuatii.png

Fie \Omega = \mathbb R^2 \setminus \{ (x, 0); x \in \mathbb R  \}. Soluţia generală a ecuaţiei (30) în \Omega \! este y = (x+ C)^3 \!, cum se verifică imediat. Fie (a , 0) un punct oarecare de pe axa Ox.

Prin acest punct trece soluţia singulară y = 0 şi soluţia particulară y= (x-a)^3, \; x \in \mathbb R.

Din punct de vedere geometric, curba integrală a soluţiei singulare este înfăşurătoarea familiei de curbe integrale ale soluţiei generale.

1.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi de forme particulare Edit

1.2.1. Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile Edit

Mai multe detalii la articolul: Ecuaţie diferenţială cu variabile separabile.

O ecuaţie diferenţială cu variabile separabile este o ecuaţie diferenţială de forma:

f_1 (x) \cdot g_1 (y) \cdot y' + f_2 (x) \cdot g_2 (y) = 0.

unde f_1, f_2: I \subset \mathbb R \longrightarrow \mathbb R sunt funcţii continue, f_1 \neq 0 \! pe I, iar g_1, g_2 : J \subset \mathbb R \longrightarrow \! sunt funcţii continue, g_2 \neq 0 \! pe J, I şi J fiind intervale.

1.2.2. Ecuaţii diferenţiale omogene Edit

(Mai multe detalii la articolul: Ecuaţie diferenţială omogenă) Sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

y' = f \left (  \frac y x \right) , \!   (3)

unde f este o funcţie continuă pe un interval  I, \; 0 \not \in I.  \!

Dacă notăm cu  u = \frac y x \! şi considerăm u = u(x) noua funcţie necunoscută, rezultă y(x)= xu(x)  \! şi y' = u+ xu'.  \! În urma acestei schimbări de funcţie necunoscută, ecuaţia (3) devine o ecuaţie cu variabile separabile, anume:

 u+ xu' = f(u). \!

1.2.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi Edit

(Mai multe detalii la pagina: Ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi)

Ecuaţiile diferenţiale liniare neomogene, de ordinul întâi, sunt ecuaţii de forma:

y' + P (x)y = Q (x),  \!   (4)

unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I.

Ecuaţia liniară omogenă asociată este

y' + P(x)y = 0.  \!   (5)

Observăm că ecuaţia omogenă (5) este o ecuaţie cu variabile separabile. Separând variabilele şi integrând, obţinem:

 \frac {dy}{y} = - P (x) dx, \; y \neq 0,  \!


 \ln |y| = - \int P (x) dx + \ln |\mathcal C|, \; \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

şi mai departe

|y| = | \mathcal C | e^{- \int P(x)dx}, \;  \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

care este echivalentă cu

y =  \mathcal C  e^{- \int P(x)dx}, \;  \mathcal C \in \mathbb R^*  \!

Deşi această soluţie s-a obţinut în ipoteza  y \neq 0, \! care presupune \mathcal C \neq 0,  \! observăm că ecuaţia (5) admite şi soluţia y = 0 care s-a pierdut la împărţirea cu y. Aşadar:

y= \mathcal C e^{- \int P(x)dx}, \mathcal C \in \mathbb R,  \!   (6)

reprezintă soluţia generală a ecuaţiei omogene (5).

1.2.4. Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli Edit

(Detalii la pagina: Ecuaţie diferenţială de tip Bernoulli)

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

y' + P(x) y = Q(x)y y^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb R \setminus \{ 0, 1 \}.  \!   (1)

Presupunem că P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I. Împărţind cu y^{\alpha},  \! pentru  y \neq 0 ,\! obţinem:

y^{- \alpha} y' + P(x) y^{1 - \alpha} = Q(x).  \!

Dacă facem schimbarea de funcţie y^{1 - \alpha} = z,  \! unde z = z(x) este noua funcţie necunoscută, rezultă (1 - \alpha) y ^{- \alpha} \cdot y' = z'  \! şi mai departe

\frac {z'}{1- \alpha} + P(x)z = Q(x).  \!   (2)

Ecuaţia diferenţială (2) este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi şi se rezolvă ca în secţiunea 1.2.3.

1.2.5. Ecuaţii diferenţiale de tip Riccati Edit

(Detalii la pagina: Ecuaţie diferenţială de tip Riccati)

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma

y' = P(x) y^2 + Q(x) y + R(x)  \!   (11)

unde P, Q şi R sunt funcţii continue pe un interval I.

În general, o ecuaţie de acest tip nu se poate integra prin cuadraturi. Astfel, încă din 1841, J. Liouville a demonstrat că există ecuaţii diferenţiale de tip Riccati care nu sunt „integrabile prin cuadraturi”, adică soluţiile lor nu pot fi exprimate ca primitive ale unor funcţii continue. De exemplu, ecuaţia Riccati foarte simplă:

y' = x^2 + y^2,  \!

nu este integrabilă prin cuadraturi.

1.2.6. Ecuaţii diferenţiale de tip Clairaut Edit

(Detalii la pagina: Ecuaţie diferenţială de tip Clairaut)

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

y= xy' + \phi (y'),  \!   (13)

unde  \phi  \! este o funcţie de clasă  \mathfrak C^{(1)}  \! pe un interval J.

Notând  y' = p  \;\! ecuaţia devine  y=x \cdot p + \phi (p).  \!

Derivând în raport cu x obţinem: p = p + x \frac {dp}{dx} + \phi' (p) \frac {dp}{dx},  \! deci

[ x+ \phi' (p)] \frac {dp}{dx} = 0.  \!

Dacă \frac {dp}{dx} = 0,  \! rezultă p = C şi mai departe

 y= Cx + \phi (C). \!   (14)

Familia de soluţii (14) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (13). Din punct de vedere geometric, curbele integrale corespunzătoare acestei soluţii sunt drepte. Pe de altă parte, din x+ \phi' (p) obţinem soluţia singulară (sub formă parametrică):


\begin{cases}
x = - \phi' (p)
\\
y= - p \phi' (p) + \phi (p)
\end{cases}
  (15)

Curba integrală corespunzătoare soluţiei singulare (15) este înfăşurătoarea familiei de drepte (14).

1.2.7. Ecuaţii cu diferenţiale exacte Edit

(Detalii la pagina: Ecuaţie cu diferenţială exactă)

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

P(x, y) + Q(x, y) y' = 0,  \!   (16)

unde P şi Q sunt funcţii de clasă \mathfrak C^{(1)}  \! pe dreptunghiul D = (a, b) \times (c, d), \; Q \neq 0  \! pe D şi

\frac {\partial P}{\partial y} = \frac {\partial Q}{\partial x}  \!

pe D.

Fie (x_0, y_0) \in D  \! un punct oarecare fixat şi fie  F: D \rightarrow \mathbb R,  \! definită astfel:

F(x, y)  = \int_{x_0}^x {P(t, y_0) dt} + \int_{y_0}^y {Q(x, t) dt}, \; (x, y) \in D. \!   (17)

1.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n Edit

(Detalii la pagina: Ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n)

O ecuaţie diferenţială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuaţie de forma:

a_0(x) y^{(n)} +a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots +a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = f(x), \; x \in I,  \!   (1)

unde a_0, a_1, \cdots , a_n, \; \; f  \! sunt funcţii continue pe intervalul  I \subset \mathbb R  \! şi  a_0(x) \neq 0, \; \forall x \in I. \!   (2)

Definiţia 1.3.1. Spunem că o funcţie \phi : I \rightarrow \mathbb R  \! este de clasă \mathfrak C^{(p)}  \! pe intervalul I­ dacă \phi  \! admite derivate până la ordinul p inclusiv şi acestea sunt continue pe I.

Vom folosi notaţia \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! De exemplu, \phi \in \mathfrak C^{(0)} (I)  \! dacă \phi  \! este continuă pe I, \phi \in \mathfrak C^{(1)} (I)  \! dacă există  \phi' \! şi este continuă pe I etc.

Este evident că \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! este un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial al funcţiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota \mathcal F (I, \mathbb R).  \!

Definiţia 1.3.2. Se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) orice funcţie \phi \in \mathfrak C^{(p)} (I).  \! care verifică ecuaţia, adică:

a_0(x) \phi^{(n)} + a_1(x) \phi^{(n-1)} +  \cdots  + a_{n-1}(x) \phi' + a_n(x) \phi = f(x), \; x \in I .  \!

Dacă notăm cu D operatorul de derivare \left (  D = \frac {d}{dx} \right ),  \! cu D^p, \; p \in \mathbb N^*  \! operatorul de derivare de ordinul p, D^p = {\underbrace {D \circ D \circ \cdots \circ D}}_{de\; n \; ori}= \frac {d^p}{dx^p}, \!

cu D^0  \! operatorul identitate \left (  D^0 (\phi) = \phi, \forall \phi \in \mathfrak C^{(n)} (I)\right )  \! şi cu

 L (D) = \sum_{k=0}^n {a_k (x) D^k} = a_0(x) D^n + a_1(x) D^{n-1} + \cdots + a_{n-1}(x)D + a_n(x) D^0, \; x \in I,  \!

atunci ecuaţiile (1) şi (2) se scriu pe scurt astfel:

 L(D)(y) = f(x), \; x \in I,  \!   (1’)

respectiv

L (D)(y) = 0, \; x \in I.  \!   (2’)

1.4. Ecuaţii diferenţiale de tip Euler Edit

(Detalii la pagina Ecuaţie diferenţială de tip Euler)

Prezentăm acum ecuaţiile diferenţiale de tip Euler, care sunt ecuaţii cu coeficienţi variabili. Vom arăta că dacă facem schimbarea de variabilă x =e^t,  \! aceste ecuaţii devin ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi.

O ecuaţie diferenţială de tip Euler este o ecuaţie diferenţială de forma: a_0 x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} xy' + a_n y = f(x),  \!   (1)

unde a_i \in \mathbb R , \; i= \overline{0, n},  \! sunt constante.

1.5. Studiul vibraţiilor unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate Edit

(Detalii la articolul Vibraţiile unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate)

1.6. Metode numerice. Metoda Euler Edit

CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE Edit

2.1. Sisteme de ecuaţii diferenţiale. Teorema de existenţă şi unicitate Edit

CAPITOLUL 3. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI Edit

3.1. Sisteme autonome de ecuaţii diferenţiale Edit

3.2. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare şi omogene Edit

3.3. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare Edit

CAPITOLUL 4. SERII FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER Edit

4.1. Serii trigonometrice. Serii Fourier Edit

CAPITOLUL 5. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Edit

5.1. Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale cvasiliniare de ordinul al doilea Edit

5.2. Ecuaţia coardei vibrante Edit

CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL Edit

6.1. Introducere Edit

Note Edit

  1. F este de clasă \mathfrak {C}^{(1)} pe \Omega \!, dacă dacă F şi derivatele sale parţiale de ordinul întâi sunt continue pe \Omega \!.
  2. \phi \! este de clasă \mathfrak{C}^{(n)} pe I , dacă \phi \! şi derivatele sale \phi', \phi'', \cdots \phi^{(n)} \! sunt continue pe I.


Resurse Edit