Fandom

Coman Wiki

Ecuaţie cu diferenţială exactă

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Ecuaţiile cu diferenţială exactă sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

P(x, y) + Q(x, y) y' = 0,  \!   (1)

unde P şi Q sunt funcţii de clasă \mathfrak C^{(1)}  \! pe dreptunghiul D = (a, b) \times (c, d), \; Q \neq 0  \! pe D şi

\frac {\partial P}{\partial y} = \frac {\partial Q}{\partial x}  \!

pe D.

Fie (x_0, y_0) \in D  \! un punct oarecare fixat şi fie  F: D \rightarrow \mathbb R,  \! definită astfel:

F(x, y)  = \int_{x_0}^x {P(t, y_0) dt} + \int_{y_0}^y {Q(x, t) dt}, \; (x, y) \in D. \!   (2)


Propoziţie. În condiţiile de mai sus, orice funcţie implicită y= \phi (x),  \! definită de ecuaţia  F(x, y) = C ,\; C \in \mathbb R,  \! este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (16) şi orice soluţie a ecuaţiei (1) este de această formă.

Demonstraţie.

Pentru început vom arăta că \frac {\partial F}{\partial x} = P  \! şi  \frac {\partial F}{\partial y} = Q.  \! Într-adevăr, ţinând seama de formula de derivare a integralei cu parametru şi de ipoteza \frac {\partial P}{\partial x} = \frac {\partial Q}{\partial y},  \! rezultă

\frac {\partial F}{\partial x} = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\partial Q}{\partial x} (x, t) dt  = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\partial P}{\partial t} (x, t) dt = \!
= P(x, y_0) + P(x, y) - P(x, y_0) = P(x, y).  \!

De asemenea, avem \frac {\partial F}{\partial y} = Q(x, y).  \! Aşadar, funcţia F definită în (17) are proprietatea că \frac {\partial F}{\partial x} = P \! şi \frac {\partial F}{\partial y} = Q. \! Cu alte cuvinte, forma diferenţială  \omega = P(x, y)dx + Q(x, y)dy  \! este exactă.

Fie ecuaţia :

F(x,y) = C, \; (x, y) \in D.  \!   (3)

Deoarece  \frac {\partial F}{\partial y} = Q \neq 0  \! pe D, rezultă că în vecinătatea oricărui punct din D ecuaţia (3) defineşte o funcţie implicită  y = \phi (x), \; x \in I. \! Deoarece  F [x, \phi (x)] = 0, \; \forall \; x \in I,  \! derivând obţinem  \frac {\partial F}{\partial x} [ x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x) ] \cdot \phi' (x) = 0 , \; \forall \; x \in I. \!

Ţinând seama că \frac {\partial F}{\partial x} = P  \! şi \frac {\partial F}{\partial y} = Q,  \! deducem că

P [x, \phi (x)] + Q [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I,  \!

deci y = \phi (x), \; x \in I  \! este soluţie pentru ecuaţia (1).


Reciproc, fie y = \phi (x), x \in I,  \! o soluţie a ecuaţiei (1). Atunci, \forall \; x \in I,   \! avem

(x, \phi (x)) \in D şi P [x, \phi (x)] + Q  [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0. \!

Deoarece \frac {\partial F}{\partial x} = P  \! şi  \frac {\partial F}{\partial y} = Q,  \! rezultă

\frac {\delta F}{\delta x} [x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I,  \!

ceea ce este echivalent cu

 \frac {d}{dx} (F (x, \phi (x))) = 0, \; \forall \; x \in I. \!

Din ultima relaţie deducem că  F(x, \phi (x)) = C, \; \forall \; x \in I,  \! deci y= \phi (x), \; x \in I,  \! este o funcţie implicită definită de ecuaţia (18). QED

Exemplul 1.2.8. Să se afle soluţiile ecuaţiei diferenţiale:

 (3 x^2 - y) + (3 y^2 - x) y' = 0, \; (x, y) \in \mathbb R^2 \setminus \{ (3 a^2, a); \; a \in \mathbb R \}.  \!

Avem P(x, y) = 3 x^2 - y, \; Q(x, y) = 3y^2 - x, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = \frac {\delta P}{\delta y}  = -1. \!


F(x, y) = \int_{x_0}^x (3t^2 - y_0) dt + \int_{y_0}^y (3 t^2 - x) dt = x^3 + y^3 - xy + x_0 y_0 - x_0^3 - y^3_0. \!

Aşadar, orice soluţie a ecuaţiei date este de forma  y = \phi (x), \; x \in I,  \! unde  \phi  \! este o funcţie implicită definită de ecuaţia   x^3 + y^3 - xy = K . \!

Observaţie. Dacă  \frac {\delta P}{ \delta y} \neq \frac {\delta Q}{\delta x},  \! atunci se caută un factor integrant. Prin factor integrant se înţelege o funcţie \mu = \mu (x, y), \; \mu \in \mathfrak C ^{(1)}(D), \; \mu \neq 0  \! pe D cu proprietatea

\frac {\delta}{\delta x} [ \mu (x, y) Q(x, y) ] = \frac {\delta}{\delta y} [\mu (x,y) P(x, y)] , \; (x, y) \in D.  \!   (4)

Aşadar, să considerăm ecuaţia diferenţială

P(x, y) + Q(x, y) y' = 0, \; Q \neq 0  \! pe D

şi  \frac {\delta Q}{\delta x} \neq \frac {\delta P}{\delta y} . \!   (5)

Dacă reuşim să găsim un factor \mu = \mu (x, y)  \! şi înmulţim ecuaţia (5) cu acest factor integrant, obţinem ecuaţia echivalentă \mu (x, y) P(x, y) + \mu (x, y) Q(x, y)y' =0,  \! care este de tipul (1) şi a cărei soluţie se află în conformitate cu Propoziţia 1.

Determinarea factorului integrant se face prin încercări. Să căutăm pentru început un factor integrant de forma \mu = \mu (x)  \! (care depinde numai de x). Din (4) rezultă

\mu' (x) Q(x,y) + \mu (x) \frac {\delta Q}{\delta x} = \mu (x) \frac {\delta P}{\delta y}  \!

şi mai departe

 \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}. \!

Pentru ca egalitatea (6) să fie posibilă trebuie ca expresia \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}  \! să depindă numai de x.

Aşadar, ecuaţia (5) admite factor integrant \mu = \mu (x) , \! dacă  \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} \! depinde numai de x.

Să notăm cu    \phi (x) = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}.   \!

Atunci    \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \phi (x) \! şi integrând obţinem  \ln |\mu (x)| = \int \phi (x) dx + \mathcal C. \!

Putem alege factorul integrant \mu(x) = e^{\int \phi (x)dx}.  \!

Exemplul 1. Determinând un factor integrant, să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

 (1- x^2 y) + x^2(y-x)y' = 0, \; x \neq 0, \; x \neq y. \!

Avem P = 1- x^2 y, \; Q = x^2 (y-x), \; \frac {\delta Q}{\delta x} = 2 xy - 3 x^2 \neq \frac {\delta P}{\delta y} \neq - x^2, \; \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} = - \frac 2 x.  \! Rezultă că \mu (x) = e^{- \int {\frac 2 x dx}} = \frac {1}{x^2}. \! Amplificând ecuaţia dată cu acest factor integrant, obţinem

 (\frac {1}{x^2} - y) + (y-x) y' = 0.  \!

Fie  P_1 = \frac {1}{x^2 - y}  \! şi  Q_1 = y-x. \! Observăm că \frac {\delta P_1}{\delta y} = \frac {\delta Q_1}{\delta x} = -1.  \! Atunci

F(x, y)  = \int_{x_0}^x \left ( \frac {1}{t^2} - y_0 \right ) dt + \int_{y_0}^y (t-x) dt = \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy + K. \!

Soluţia ecuaţiei va fi orice funcţie implicită y= \phi (x) , \; x \in I, \! definită de ecuaţia

 \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy = C. \!

În mod analog, se arată că ecuaţia (5) cu P \neq 0  \! admite un factor integrant depinzând numai de y \; (y = \mu (y)),  \! dacă expresia  \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} \! depinde numai de y.

Exemplul 2. Determinând un factor integrant, să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

y^2 (2x - 3y) + (7- 3xy^2) y' = 0, \; y \neq 0, \; 2x \neq 3y, \; 7 \neq 2xy^2.  \!

Avem succesiv

P = y^2 (2x - 3y), \; Q = 7 - 3xy^2, \; \frac {\delta P}{\delta y} = 4xy - 9y^2, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = - 3 y^2;  \!
 \frac {\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} = -\frac 2 y; \; \mu(y) = \frac {1}{y^2} \!

Înmulţind ecuaţia dată cu  \frac {1}{y^2}, \! obţinem ecuaţia echivalentă 2x - 3y + (\frac {7}{y^2} -3x)y' = 0.  \!

Fie P_1(x, y) - 2x -3y, \; Q_1 (x, y) = \frac {7}{y^2}.  \! Evident \frac {\delta Q_1}{\delta x} = \frac {\delta P_1}{\delta y} = -3.  \! Atunci

F(x, y) = \int_{x_0}^x (2t - 3 y_0) dt + \int_{y_0}^y (\frac {7}{t^2} - 3x) dt = x^2 - 3xy - \frac 7 y + \mathcal C.  \!

Orice funcţie implicită  y = \phi (x), \; x \in I, \! definită de ecuaţia x^2 - 3xy - \frac 7 y = K  \! este soluţie pentru ecuaţia dată.

Dacă ecuaţia nu admite factori integranţi de forma  \mu = \mu (x) \! sau  \mu = \mu (y) \! se caută factori integranţi de forme mai complicate  \mu = \mu (xy), \;  \mu = \mu (ax+ by), \; \mu = \mu (\frac x y) \! etc.

Also on Fandom

Random Wiki