FANDOM


Ecuaţiile cu diferenţială exactă sunt ecuaţii diferenţiale de forma:

P(x, y) + Q(x, y) y' = 0,  \!   (1)

unde P şi Q sunt funcţii de clasă \mathfrak C^{(1)}  \! pe dreptunghiul D = (a, b) \times (c, d), \; Q \neq 0  \! pe D şi

\frac {\partial P}{\partial y} = \frac {\partial Q}{\partial x}  \!

pe D.

Fie (x_0, y_0) \in D  \! un punct oarecare fixat şi fie  F: D \rightarrow \mathbb R,  \! definită astfel:

F(x, y)  = \int_{x_0}^x {P(t, y_0) dt} + \int_{y_0}^y {Q(x, t) dt}, \; (x, y) \in D. \!   (2)


Propoziţie. În condiţiile de mai sus, orice funcţie implicită y= \phi (x),  \! definită de ecuaţia  F(x, y) = C ,\; C \in \mathbb R,  \! este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (16) şi orice soluţie a ecuaţiei (1) este de această formă.

Demonstraţie.

Pentru început vom arăta că \frac {\partial F}{\partial x} = P  \! şi  \frac {\partial F}{\partial y} = Q.  \! Într-adevăr, ţinând seama de formula de derivare a integralei cu parametru şi de ipoteza \frac {\partial P}{\partial x} = \frac {\partial Q}{\partial y},  \! rezultă

\frac {\partial F}{\partial x} = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\partial Q}{\partial x} (x, t) dt  = P(x, y_0) + \int_{y_0}^y \frac {\partial P}{\partial t} (x, t) dt = \!
= P(x, y_0) + P(x, y) - P(x, y_0) = P(x, y).  \!

De asemenea, avem \frac {\partial F}{\partial y} = Q(x, y).  \! Aşadar, funcţia F definită în (17) are proprietatea că \frac {\partial F}{\partial x} = P \! şi \frac {\partial F}{\partial y} = Q. \! Cu alte cuvinte, forma diferenţială  \omega = P(x, y)dx + Q(x, y)dy  \! este exactă.

Fie ecuaţia :

F(x,y) = C, \; (x, y) \in D.  \!   (3)

Deoarece  \frac {\partial F}{\partial y} = Q \neq 0  \! pe D, rezultă că în vecinătatea oricărui punct din D ecuaţia (3) defineşte o funcţie implicită  y = \phi (x), \; x \in I. \! Deoarece  F [x, \phi (x)] = 0, \; \forall \; x \in I,  \! derivând obţinem  \frac {\partial F}{\partial x} [ x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x) ] \cdot \phi' (x) = 0 , \; \forall \; x \in I. \!

Ţinând seama că \frac {\partial F}{\partial x} = P  \! şi \frac {\partial F}{\partial y} = Q,  \! deducem că

P [x, \phi (x)] + Q [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I,  \!

deci y = \phi (x), \; x \in I  \! este soluţie pentru ecuaţia (1).


Reciproc, fie y = \phi (x), x \in I,  \! o soluţie a ecuaţiei (1). Atunci, \forall \; x \in I,   \! avem

(x, \phi (x)) \in D şi P [x, \phi (x)] + Q  [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0. \!

Deoarece \frac {\partial F}{\partial x} = P  \! şi  \frac {\partial F}{\partial y} = Q,  \! rezultă

\frac {\delta F}{\delta x} [x, \phi (x) ] + \frac {\delta F}{\delta y} [x, \phi (x)] \cdot \phi' (x) = 0, \; \forall \; x \in I,  \!

ceea ce este echivalent cu

 \frac {d}{dx} (F (x, \phi (x))) = 0, \; \forall \; x \in I. \!

Din ultima relaţie deducem că  F(x, \phi (x)) = C, \; \forall \; x \in I,  \! deci y= \phi (x), \; x \in I,  \! este o funcţie implicită definită de ecuaţia (18). QED

Exemplul 1.2.8. Să se afle soluţiile ecuaţiei diferenţiale:

 (3 x^2 - y) + (3 y^2 - x) y' = 0, \; (x, y) \in \mathbb R^2 \setminus \{ (3 a^2, a); \; a \in \mathbb R \}.  \!

Avem P(x, y) = 3 x^2 - y, \; Q(x, y) = 3y^2 - x, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = \frac {\delta P}{\delta y}  = -1. \!


F(x, y) = \int_{x_0}^x (3t^2 - y_0) dt + \int_{y_0}^y (3 t^2 - x) dt = x^3 + y^3 - xy + x_0 y_0 - x_0^3 - y^3_0. \!

Aşadar, orice soluţie a ecuaţiei date este de forma  y = \phi (x), \; x \in I,  \! unde  \phi  \! este o funcţie implicită definită de ecuaţia   x^3 + y^3 - xy = K . \!

Observaţie. Dacă  \frac {\delta P}{ \delta y} \neq \frac {\delta Q}{\delta x},  \! atunci se caută un factor integrant. Prin factor integrant se înţelege o funcţie \mu = \mu (x, y), \; \mu \in \mathfrak C ^{(1)}(D), \; \mu \neq 0  \! pe D cu proprietatea

\frac {\delta}{\delta x} [ \mu (x, y) Q(x, y) ] = \frac {\delta}{\delta y} [\mu (x,y) P(x, y)] , \; (x, y) \in D.  \!   (4)

Aşadar, să considerăm ecuaţia diferenţială

P(x, y) + Q(x, y) y' = 0, \; Q \neq 0  \! pe D

şi  \frac {\delta Q}{\delta x} \neq \frac {\delta P}{\delta y} . \!   (5)

Dacă reuşim să găsim un factor \mu = \mu (x, y)  \! şi înmulţim ecuaţia (5) cu acest factor integrant, obţinem ecuaţia echivalentă \mu (x, y) P(x, y) + \mu (x, y) Q(x, y)y' =0,  \! care este de tipul (1) şi a cărei soluţie se află în conformitate cu Propoziţia 1.

Determinarea factorului integrant se face prin încercări. Să căutăm pentru început un factor integrant de forma \mu = \mu (x)  \! (care depinde numai de x). Din (4) rezultă

\mu' (x) Q(x,y) + \mu (x) \frac {\delta Q}{\delta x} = \mu (x) \frac {\delta P}{\delta y}  \!

şi mai departe

 \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}. \!

Pentru ca egalitatea (6) să fie posibilă trebuie ca expresia \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}  \! să depindă numai de x.

Aşadar, ecuaţia (5) admite factor integrant \mu = \mu (x) , \! dacă  \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} \! depinde numai de x.

Să notăm cu    \phi (x) = \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q}.   \!

Atunci    \frac {\mu' (x)}{\mu (x)} = \phi (x) \! şi integrând obţinem  \ln |\mu (x)| = \int \phi (x) dx + \mathcal C. \!

Putem alege factorul integrant \mu(x) = e^{\int \phi (x)dx}.  \!

Exemplul 1. Determinând un factor integrant, să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

 (1- x^2 y) + x^2(y-x)y' = 0, \; x \neq 0, \; x \neq y. \!

Avem P = 1- x^2 y, \; Q = x^2 (y-x), \; \frac {\delta Q}{\delta x} = 2 xy - 3 x^2 \neq \frac {\delta P}{\delta y} \neq - x^2, \; \frac {\frac {\delta P}{\delta y} - \frac {\delta Q}{\delta x}}{Q} = - \frac 2 x.  \! Rezultă că \mu (x) = e^{- \int {\frac 2 x dx}} = \frac {1}{x^2}. \! Amplificând ecuaţia dată cu acest factor integrant, obţinem

 (\frac {1}{x^2} - y) + (y-x) y' = 0.  \!

Fie  P_1 = \frac {1}{x^2 - y}  \! şi  Q_1 = y-x. \! Observăm că \frac {\delta P_1}{\delta y} = \frac {\delta Q_1}{\delta x} = -1.  \! Atunci

F(x, y)  = \int_{x_0}^x \left ( \frac {1}{t^2} - y_0 \right ) dt + \int_{y_0}^y (t-x) dt = \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy + K. \!

Soluţia ecuaţiei va fi orice funcţie implicită y= \phi (x) , \; x \in I, \! definită de ecuaţia

 \frac {y^2}{2} - \frac 1 x - xy = C. \!

În mod analog, se arată că ecuaţia (5) cu P \neq 0  \! admite un factor integrant depinzând numai de y \; (y = \mu (y)),  \! dacă expresia  \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} \! depinde numai de y.

Exemplul 2. Determinând un factor integrant, să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

y^2 (2x - 3y) + (7- 3xy^2) y' = 0, \; y \neq 0, \; 2x \neq 3y, \; 7 \neq 2xy^2.  \!

Avem succesiv

P = y^2 (2x - 3y), \; Q = 7 - 3xy^2, \; \frac {\delta P}{\delta y} = 4xy - 9y^2, \; \frac {\delta Q}{\delta x} = - 3 y^2;  \!
 \frac {\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac {\frac {\delta Q}{\delta x} - \frac {\delta P}{\delta y}}{P} = -\frac 2 y; \; \mu(y) = \frac {1}{y^2} \!

Înmulţind ecuaţia dată cu  \frac {1}{y^2}, \! obţinem ecuaţia echivalentă 2x - 3y + (\frac {7}{y^2} -3x)y' = 0.  \!

Fie P_1(x, y) - 2x -3y, \; Q_1 (x, y) = \frac {7}{y^2}.  \! Evident \frac {\delta Q_1}{\delta x} = \frac {\delta P_1}{\delta y} = -3.  \! Atunci

F(x, y) = \int_{x_0}^x (2t - 3 y_0) dt + \int_{y_0}^y (\frac {7}{t^2} - 3x) dt = x^2 - 3xy - \frac 7 y + \mathcal C.  \!

Orice funcţie implicită  y = \phi (x), \; x \in I, \! definită de ecuaţia x^2 - 3xy - \frac 7 y = K  \! este soluţie pentru ecuaţia dată.

Dacă ecuaţia nu admite factori integranţi de forma  \mu = \mu (x) \! sau  \mu = \mu (y) \! se caută factori integranţi de forme mai complicate  \mu = \mu (xy), \;  \mu = \mu (ax+ by), \; \mu = \mu (\frac x y) \! etc.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.