Fandom

Coman Wiki

E (constantă matematică)

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Numarul e Edit

Graph-1-1-n-n.gif

Numarul e apare prima data in matematica in anul 1618, intr-un apendix ce cuprindea munca lui Napier asupra logaritmilor, in care se gasea un tabel cu valorile logaritmului natural al catorva numere. Cu toate astea, acesti logaritmi in baza naturala nu au fost recunoscuti din moment ce numarului e nu i se acorda o prea mare importanta in acea epoca. Acel tabel din apendix, desi nu era semnat, este aproape sigur ca fusese scris de Oughtred. Cativa ani mai tarziu, in anul 1624, numarul e aproape ca intrase in literatura de specialitate, dar acest lucru nu s-a intamplat. In acel an, Briggs a dat o valoare aproximativa a logaritmului zecimal e fara sa mentionaze pe e in lucrare. Urmatoarea aparitie a lui e este de asemenea misterioasa. In 1647, Saint-Vicent a calculat aria subgraficului hiperbolei echilatere. Daca a recunoscut sau nu conexiunea acestora cu logaritmul este inca discutabil. Dar, chiar daca ar fi facut aceasta conexiune, el nu a reusit sa mentioneze explicit numarul e. Cu siguranta, pe la 1661, Huygens a inteles relatia dintre hiperbola echilatera si logaritm. El a analizat explicit relatia dintre aria subgraficului hiperbolei yx = 1 si logaritm.

In acelasi an, Huygens a si definit o curba numita "logaritmica", referindu-se insa de fapt la exponentiala de ecuatie:

y = ka^x

In 1668, Nicolaus Mercator a publicat "Logarithmotechnia", care contine dezvoltarea in serie a log(1+x). In aceasta lucrare, Mercator foloseste pentru prima data termenul de "logaritm natural" pentru logaritmul in baza e. Din nou, numarul e nu apare explicit.

In mod suprinzator, desi abordarea logaritmica a ajuns atat de aproape de recunoasterea numarului e, "prima descoperire" a lui e nu a fost legata de notiunea de logaritm, ci de studiul calculului dobanzilor. In 1683, Jacob Bernoulli, analizand problema dobanzii compuse, a fost nevoit sa examineze limita sirului

 (1+ \frac {1}{n})^n

, a carei valoare a aproximat-o cu un numar cuprins intre 2 si 3. Aceasta este prima aproximatie a numarului e, care, de altfel, este acceptata si ca definitie a acestui numar. Este pentru prima data cand un numar a fost definit printr-un proces de trecere la limita. Cu siguranta, Bernoulli nu a recunoscut nici o conexiune intre descoperirea lui si logaritmi.

Prima persoana care a facut conexiunea intre logaritmi si exponentiala ar putea fi James Gregory.

Din cate stim insa, prima aparitie a lui e in adevaratul sau sens a fost in anul 1690. In acel an, Leibniz, intr-o scrisoare catre Huygens, a folosit notatia b in loc de e. In sfarsit, numarul e avea un nume, chiar daca nu era cel de acum, si fusese recunoscut.

Notatia actuala se datoreaza lui Euler, nu din cauza ca este prima litera a numelui sau, ci probabil ca prima litera a cuvantului exponential sau chiar ca urmatoarea vocala dupa a(Euler folosise deja pe a in lucrarea sa). Oricare ar fi motivul, notatia e isi face aparitia in scrisoare lui Euler catre Goldbach din 1731, si apoi in 1748, cand Euler a publicat "Introductio in Analysin infinitorun". Euler a calculat o valoare aproximativa pentru e cu 18 zecimale,

e = 2.718281828459045235 \!

fara sa spuna cum l-a calculat. Considerand aproximativ 20 de termeni ai seriei 1+1/1!+/1/2!+.... se ajunge la aceasta valoare. uler, de asemenea, a indicat si dezvoltarea in fractie continua a lui e :

E1 fractii.gif E2 fractii.gif

Sursa: gGSHenriCoanda.licee.edu.ro

Number e to 1000 decimal places.gif

Numărul e cu 1000 de zecimale



Spun iar, reînnodându-mi firul, că descoperirea logaritmilor a provocat importante revoluţii în domeniile ce folosesc calcule matematice. Adevărat calculator virtual, puterea lor rezidă în convertirea înmulţirii la adunare reducând timpul necesar de la una sau mai multe ore (dacă vorbim despre numere mari), la cel mult un minut. Pare chiar că revoluţia provocată de apariţia calculatoarelor numerice este de mai mică importanţă, ea reducând minutul la câteva secunde.

Revenind la personajele vremii, Henry Briggs, mai pragmatic, a început să calculeze tabelele logaritmilor in bază 10, adică să scrie o listă cât mai lungă de numere drept puteri ale lui 10. Acestea au fost foarte utile în practică, dar Neper şi, înaintea lui, Burgi (ale cărui rezultate au fost publicate mai târziu), intuiseră că baza trebuie să fie un numar uşor diferit de 1. Motivul a fost că, puterile succesive ale lui 1.0001, de exemplu, au distanţe mai mici între ele decât puterile lui 2 sau 10; deci mai multe numere aveau şansa unor logaritmi uşor de calculat.

Ceva mai târziu, pe la sfârşitul secolului XVII, Jacob Bernoulli a considerat necesar să studieze valoarea de care se apropie numarul uşor diferit de unu când este ridicat la o putere inversă faţă de diferenţă . Adică, mai exact, către ce valoare se îndreaptă şirul de numere:

 (1 + \frac {1}{2})^2,  (1 + \frac {1}{3})^3,  (1 + \frac {1}{4})^4,  ...


Aşa cum se observă, puterea creşte în aceeaşi măsură în care baza scade. Forma generală a şirului de numere ar fi:

(1 + \frac {1}{n})^n,


unde n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Pentru n = 1 valoarea şirului este

 (1 + \frac{1}{1})^1 = 2

, pentru n=2 avem

 (1 + \frac{1}{2})^2 = 2,25

pentru n=10 obţinem valoarea 2.59 iar pentru n=100 ajungem la 2.70.

Acest interesant şir de numere nu-l depăşea prea mult pe 2.7. Limita spre care tindea era un număr straniu, imposibil de legat de numerele raţionale (adică de fracţii) sau de radicali.

Certificând, de fapt, progresul important al matematicii în secolul al XVII-lea, acest număr apăruse deja în contextul altor probleme. Chiar Jacob, unul dintre primii matematicieni ai dinastiei Bernoulli, îl descoperise studiind capitalizarea dobânzilor bancare (problemă cu un pronunţat specific elveţian). Mai exact, problema se pune astfel:

“Avem o sumă de 1E (sigur Bernoulli nu la Euro se gândea), pe care o depunem la o bancă pentru o dobândă de 100% pe an. Care va fi valoarea contului la sfârşitul anului, în funcţie de intervalele la care este capitalizată dobânda?”

Asfel, daca vom calcula dobânda la sfârşitul anului, valoarea contului va fi, desigur, de 2E. Însă dacă socotim dobânda la jumătatea anului, anume de 0.5E, şi o adunăm valorii contului, obţinem o valoare de 1.5E la jumătatea anului. Aplicându-i încă 50% dobândă pentru următoarea jumătate de an, avem o valoare a contului de 2.25E la sfârşitul anului (se observă că sunt exact valorile pentru n=1 şi n=2 din şirul studiat anterior). Dacă vom capitaliza trimestrial, obţinem valoarea pentru n=4, adică 2.44, săptămânal vom avea valoarea pentru n=52, adică 2.69, iar la o presupusă capitalizare zilnică avem cel de-al 365-lea termen a cărui valoare este 2.71. Ei, pe aici lucrurile se cam termină din punct de vedere financiar. Adică, putem capitaliza dobânda în fiecare secundă, la 2.72 tot n-ajungem ...

Era deja interesant faptul că acest şir de aproximări ale unui număr, despre care nimeni nu ştia ce natură are, apare într-o problemă fără legătură cu logaritmii. Nu era singurul peisaj în care a scos capul, în timpul acestui secol.

Astfel, ceva mai devreme, adica înainte de 1650, René Descartes, creatorul geometriei analitice, descoperise o curbă unică prin faptul că modela multe creşteri organice, numită “spirala logaritmică”. Spre deosebire de “spirala lui Arhimede”, evident descoperită în Antichitate, această curbă:

Spirala lui Arhimede si nr e.gif

are proprietatea că, ducând o secantă din centrul ei spre exterior, tangentele în punctele de intersecţie sunt paralele. Descrierea acestei curbe se face ca funcţie exponenţială de bază e (adică 2.718....).

Multe cochilii din lumea moluştelor au luat-o drept exemplu, iar Jacob Bernoulli, care şi-a gravat-o pe mormânt, şi-a ales drept epitaf descrierea ei: “Mă transform rămânând aceeaşi .”.

Secolul al XVII-lea a fost prima perioadă a matematicii moderne. De pe la mijlocul său a fost clar că, deja au fost depăşite rezultatele spectaculoase din Antichitate. Este remarcabil faptul că, aşa cum geometria greacă a descoperit, inevitabil numarul π, matematica modernă a fost nevoită să se ocupe, încă de la începuturile ei, de numărul e. De ce a fost notat cu “e” ?... ar fi o poveste mai lungă decât cea de pâna acum...

Sursa: AnulMatematicii.ro


Numarul asta ”e” are o gramada de alpicatii, una dintre ele este prin propria sa natura, e un numar transcendent, nu se termina niciodata, are o valoare care incepe cu 2,71806…, pana acum i s-au descris 500.000.000.000 de cifre dupa virgula, ultimele 300 de miliarde fiind calculate de Alexander J. Yee si publicate intr-o lucrare aparuta in februarie 2010. Cel mai impoerant lucru pe care l-am aflat atunci a fost ca de la numarul e se ajunge la spirala logaritmica, de care e plina lumea vie. Berzele isi iau zborul descriind perfect spirala logaritmica, ochiurile de pe coada paunului sunt dispuse in aceeasi spirala, care la randul ei nu se termina vreodata. Impins de curiozitatea patologica de care sper sa nu ma vindec vreodata, am cautat mai departe, de data asta facand cunostinta nu net-ul de care am ramas indragostiv forever (pana si sotia mi-am gasit-o pe net, ca sa nu mai zic de programul Start&Grow ), n-o sa uit niciodata de prima cautare pe altavista.com, google-ul nu era inca la moda. Din spirala logaritmica am ajuns la o alta aplicatie, sectiunea de aur, care se obtine si prin raportul distantelor dintre doua arce ale spiralei logaritmice. Se gaseste si ea peste tot, de la cochiliile melcilor si proportiile corpului uman, pana la Fugile lui Bach si unele piese de la Beatles, de exemplu in piesele de pe Sgt. Pepper”s Lonely Hearts Club Band, probabil cel mai tare album aparut vreodata in lume, comparabil cu ”Morrison hotel” de la Doors. Da asta-i alta poveste. Lumea incepea sa arate altfel. Fiecare lucru pe lumea asta, de la obiecte pana la comportamentul uman am inceput sa-l vad ca pe o asociere si succesiune de pattern-uri constante, care se repeta si se asociaza in forme diferite care creeaza complexitatea in care ne invartim. Si asa am ajuns la fractali… Orice e un fractal, bataile inimii, frunzele, norii, ferigile, turbulentele, totul. Totul e un pattern autorepetitiv care pastreaza forma initiala, dar ajunge la forme si functii nebanuite.

Sursa: StelianSarlea.WordPress.com

Define number e numerically.png

Legături externe Edit

  • en
Gap-System.org
  • ro
Scribd.com
  • en
MathIsFun.com

Also on Fandom

Random Wiki