Fandom

Coman Wiki

Curbă

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Helicoid projection.png

Generalităţi Edit

Definiţie parametrică Edit

Definiţia 1.1: Se numeşte curbă în spaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiu a căror coordonate sunt date de:


\Gamma: \left\{ \begin{array}{lr} 
x = x(t) \\ 
y = y(t), & t \in [a, b] \\ 
z= z(t)
 \end{array} \right.

funcţiile reale x, y, z fiind continue pe [a, b] .

Definiţie vectorială Edit

Definiţia 1.2: Se numeşte curba în spaţiu dată vectorial mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiu pentru care vectorul de poziţie \vec {OM} = \vec r \! este dat de:

\vec r = \overrightarrow {r(t)} = x(t) \vec i +  y(t) \vec j +  z(t) \vec k, \; t \in [a, b].


Remarca 1.1: O curbă în spaţiu poate fi dată şi ca intersecţie de două suprafeţe, în anumitcondiţii putându-se pune şi sub forma parametrică, ca în următorul exemplu:

Exemplul 1.1 (Curba lui Viviani): Fie curba obţinută din intersecţia unei sfere cu un cilindru circular drept care trece prin centrul sferei şi are raza jumătate din raza sferei. Să aflăm ecuaţiile parmetrice, considerând că sfera are centrul în origine, raza R iar cilindrul are generatoarele paralele cu Oz şi centrul în (\frac R 2, 0, 0) \!

Ecuaţia sferei este:

x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \!

iar a cilindrului:

\left (x - \frac R 2 \right )^2 + y^2 = \left ( \frac R 2 \right )^2
Cerc generator Viviani.png

Alegem ca parametru unghiul t în parametrizarea cercului după care cilindrul intersectează planul xOy:


\left \{
\begin{array}{lr}
x= \frac R 2 \cos t + \frac R 2 
\\
\; \; \; \; \;\; \; \; \; \;\; \; \; \; \;\; \; \; \; \; t \in [0, 2  \pi]
\\
y= \frac R 2 \sin t 
\end{array}
\right.

înlocuind în ecuaţia sferei obţinem:

\left ( \frac R 2 \cos t + \frac R 2 \right )^2 + \left ( \frac R 2 \sin t \right )^2 + z^2 = R^2
Curba Viviani.png

Făcând calculele rezultă:

z^2 = \frac {R^2}{2} (1 - \cos t) = R^2 \sin^2 \frac t 2

deci curba lui Viviani are ecuaţiile parametrice:


\left \{
\begin{array}{lr}
x= \frac R 2 \cos t + \frac R 2 
\\ \\
y = \frac R 2  \sin t)
\\ \\
z = \pm R \sin \frac t 2
\end{array}
\right .

 
t \in [0, 2 \pi]
 


Remarca 1.2: În cele ce urmează vom nota cu litere mici coordonatele unui punct de pe curbă şi cu litere mari coordonatele unui punct de pe planele sau dreptele ataşate curbei în punctul respectiv.

Tangenta şi planul normal la o curbă în spaţiu Edit

Tangenta la curba.png

Definiţia tangentei la o curbă în spaţiu este aceeaşi ca la o curbă plană:

Definiţia 2.1: Se numeşte tangentă la curba \Gamma \! în punctul M poziţia limită a dreptei determinată de punctele M şi M1 de pe curbă când punctul M1 tinde către M (dacă acea limită există).

Teorema 2.1: Dacă funcţiile x, y, z sunt derivabile şi

x'^2 (t) + y'^2 (t) + z'^2 (t) \ne 0

atunci ecuaţia tangentei la curbă este (coordonatele unui punct de pe tangentă fiind notate X, Y, Z):

\frac {X - x (t)}{x' (t)} = \frac {Y - y (t)}{y' (t)} = \frac {Z - z (t)}{z' (t)}   (ETPS)
Demonstraţie: Conform definiţiei derivatei unui vector şi a tangentei, dacă T aparţine tangentei (vezi figura precedentă) atunci vectorii \overrightarrow {MT} şi \vec {r'} (t) sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporţionale şi rezultă ecuaţia (ETPS).
Plan normal la curba.png

Definiţia 2.2: Se numeşte plan normal la curba \Gamma \! în punctul Mplanul care trece prin M şi este perpendicular pe tangenta la \Gamma \! în M.

Teorema 2.2: Ecuaţia planului normal la curba \Gamma \! în punctul M este:

x' (t) (X- x(t)) + y' (t) (Y - y(t)) + z' (t)(Z- z(t)) = 0 \!
Demonstraţie: Rezultă din definiţia planului normal şi ecuaţia planului determinat de un punct şi un vector perpendicular pe el.

Lungimea unui arc de curbă, parametrul natural al unei curbe Edit

Linia poligonala.png

Fie \Gamma \! dată parametric:


\left \{
\begin{array} {lr}
x= x(t)
\\
y= y(t) & t \in [a, b]
\\
z= z(t)
\end{array}
\right .

Ne propunem să definim lungimea acestei curbe, precum şi o formulă de calcul pentru lungime. Pentru acesta înscriem în curba \Gamma \! linia poligonală M_0 M_1 \cdots M_n (vezi figura precedentă).

Definiţia 3.1: Se numeşte lungimea curbei \Gamma \! limita lungimii liniei poligonale M_0 M_1 \cdots M_n când n \longrightarrow \infty şi lungimea celui mai mare segment de pe linia poligonală tinde la zero.

Teorema 3.1: Dacă funcţiile x(t), y(t), z(t) \! au derivată continuă atunci curba \Gamma \! are lungime finită, dată de:

l(\Gamma) = \int_a^b \sqrt {x'^2 (t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt   (LCS)
Demonstraţie: Lungimea liniei poligonale M_0 M_1 \cdots M_n este dată de (t_i \! este valoarea parametrului t corespunzătoare punctului M_i \!):
l_n = \sum_{i=1}^n \sqrt {(x(t_i) - x(t_{i-1}))^2 + (y(t_i) - y(t_{i-1}))^2 + (z(t_i) - z (t_{i-1}))^2} =

= \sum_{i=1}^n (t_i - t_{i-1}) \sqrt {x'^2 (\xi_i) + y'^2 (\zeta_i) + z'^2 (\theta_i)}

unde \xi_i, \; \zeta_i, \; \theta_i \in (t_i, t_{i-1}).

Se demonstrează la analiză matematică că limita lui l_n \! când n \longrightarrow \infty \! şi max_{i= \overline {1, n}} |t_i - t_{i-1}| \longrightarrow 0 este tocmai integrala din partea dreaptă a egalităţii (LCS) \Box

Definiţia 3.2: Se numeşte parametrul natural al curbei \Gamma \! lungimea arcului de curbă AM, A fiind punctul de coordonate (x(a), y(a), z(a)) \!, iar M punctul de coordonate (x(t), y(t), z(t)) \! .

Din teorema precedentă rezultă imediat:

Propoziţia 3.1: Parametrul natural al curbei este dat de:

(0.3.1)   s= \int_a^t \sqrt {x'^2(\tau) + y'^2(\tau) + z'^2(\tau)} d \tau

Remarca 3.1: Dacă în loc de parametrul t se consideră ca şi parametru parametrul natural s se obţine o parametrizare echivalentă a curbei (vezi remarca ??), numită parametrizarea naturală:

(0.3.2)   \vec r (s) = x (s) \vec i + y (s) \vec j + z (s) \vec k \;, \; \; k, s \in [0, l(\Gamma)].

Teorema 3.2: Dacă curba \Gamma \! este parametrizată natural atunci:

(0.3.3)     | \vec r' (s)| = 1

Demonstraţie:
\vec r' (s) = x' (s) \vec i + y' (s) \vec j + z' (s) \vec k =

= \frac {dt}{ds} x' (t) \vec i + \frac {dt}{ds} y' (t) \vec j + \frac {dt}{ds} z' (t) \vec k = = \frac {x' (t) \vec i + y' (t) \vec j + z' (t) \vec k}{\frac {ds}{dt}} = \frac {x' (t) \vec i + y' (t) \vec j + z' (t) \vec k}{\sqrt {x'^2 (t) + y'^2 (t) + z'^2 (t)}}

de unde calculând modulul rezultă formula (0.3.3).


Din teorema precedentă şi corolarul 3.1 rezultă:

Corolarul 3.1: Vectorul \vec {r''} (s) este perpendicular pe \vec {r'} (s).

Reperul şi formulele lui Frenet Edit

Din corolarul 3.1 rezultă, notând cu \vec \tau \! versorul tangentei şi cu \vec n \! versorul lui \overrightarrow r'' (s) \!:

(0.4.1)     \frac {d \vec \tau}{ds}= K \vec n,

unde K este funcţie de s care se va preciza.

Tangenta la o curba.png

Definiţia 4.1: Se numeşte normala principală la curba \Gamma \! în punctul M dreapta care trece prin M şi care are ca vector director versorul \vec n \! (versorul normalei principale).


Definiţia 4.2: Se numeşte curbura curbei \Gamma \! în punctul M lungimea vectorului  \frac {d \vec \tau}{ds} (adică K din formula (0.4.1))

Frenet reper.png

Definiţia 4.3: Se numeşte versorul binormalei la curba \Gamma \! în punctul M versorul \vec b \! definit de:

\vec b = \vec \tau \times \vec n

şi se numeşte binormala la curba \Gamma \! în punctul M dreapta care trece prin M şi are ca vector director versorul \vec b \!.


Definiţia 4.4: Se numeşte reperul lui Frenet la curba \Gamma \! în punctul M reperul \{ M, \vec \tau, \vec n, \vec b \} \!.

Să calculăm acum derivatele versorilor reperului lui Frenet în raport cu parametrul natural al curbei \Gamma \!. Derivata lui \vec \tau \! este (vezi 0.4.1):

\frac {d \vec \tau}{ds} = K \vec n

Derivata lui \vec b \! este un vector perpendicular pe \vec b \! şi:

\frac {d \vec b}{ds} = \frac {d \vec \tau}{ds} \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} =

= K \vec n \times \vec n + \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds} = \vec \tau \times \frac {d \vec n}{ds}

deci \frac {d \vec b}{ds} \! este perpendicular şi pe \vec \tau. Prin urmare \frac {d \vec b}{ds} \! este coliniar cu \vec n \! (a doua formulă a lui Frenet):

(0.4.2)     \frac {d \vec b}{ds} = - T \vec n

Definiţia 4.5: Se numeşte torsiunea curbei \Gamma \! în punctul M funcţia T de s definită de (0.4.2).


Sa calculăm acum \frac {d \vec n}{ds} \!. Deoarece

\vec n = \vec b \times \vec \tau \!

avem:

\frac {d \vec n}{ds} = \frac {d \vec b}{ds} \times \vec \tau + \vec b \times \frac {d \vec \tau}{ds}=

= - T \vec n \times \vec \tau + \vec b \times K \vec n = T \vec b - K \vec \tau.

Am obţinut astfel cea de-a treia formulă a lui Frenet:

(0.4.3)     \frac {d \vec n}{ds} = - K \vec \tau + T \vec b


Remarca 4.1: Cele trei formule ale lui Frenet se pot reţine mai uşor sub forma unui tabel:

  \vec \tau \! \vec n \! \vec b \!
\frac {d \vec \tau}{ds} 0 K 0
\frac {d \vec n}{ds} -K 0 T
\frac {d \vec b}{ds} 0 -T 0


Triedrul lui Frenet Edit

Plan osculator.png

Definiţia 5.1: Se numeşte plan osculator la curba \Gamma \! în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii \vec \tau, \vec n.

Remarca 5.1: Se demonstrează că planul osculator este poziţia limită a unui plan care trece prin punctele M, M_1, M_2 \! când M_1, M_2 \! tind către (pe \Gamma \!) M.


Definiţia 5.2: Se numeşte plan rectifiant la curba \Gamma \! în punctul M planul determinat de punctul M şi versorii \vec \tau , \vec b.

Triedrul lui Frenet.png

Definiţia 5.3: Se numeşte triedrul lui Frenet la curba \Gamma \! în punctul M triedrul format din planul osculator, planul normal şi planul rectifiant în punctul M, precum şi din dreptele de intersecţie ale acestor plane: binormala, tangenta, normala principală.

Să presupunem acum că curba \Gamma \! este dată parametric:


\left\{ \begin{array}{lr}
x=  x(t)
\\
y = y(t) t \in [a, b]
\\
z= z (t)
\end{array} \right.

Ne propunem să aflăm ecuaţiile elementelor triedrului lui Frenet în funcţie de t.

Ecuaţiile tangenta şi planul normal sunt deja aflate.

Avem:

\vec r = \frac {d \vec r}{ds} = \frac {\overline {r' (t)}}{\frac {ds}{dt}}


\frac{d \tau}{ds} = \frac {\left ( \frac {\overline {r'(t)}}{\frac {ds}{dt}}  \right )'_t}{\frac {ds}{dt}}= \frac {\overline {r''(t)} \frac {ds}{dt} - \frac {d^2 s}{dt^2} \overline {r'(t)}}{(\frac {ds}{dt})^3}

Din ultima egalitate şi prima formulă a lui Frenet rezultă că \vec n \! este coplanar cu \overline {r''(t)} \! şi \overline {r'(t)} \!, deci planul osculator este planul determinat de M, \overline {r''(t)} \! şi \overline {r'(t)} \!, prin urmare ecuaţia sa este:



\begin{vmatrix}
X-x(t) & Y- y(t) & Z-z(t) \\
x'(t) & y'(t) & z'(t) \\ x''(t) & y''(t) & z''(t)
\end{vmatrix}
= 0     (EPLO)

Din ecuaţia precedentă rezultă ecuaţiile binormalei, ca dreaptă perpendiculară pe planul osculator:

\frac {X- x(t)}{\begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t) \end{vmatrix}}=\frac {Y-y(t)}{\begin{vmatrix}  z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t) \end{vmatrix}} =\frac {Z-z(t)}{\begin{vmatrix}  x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix}}     (EB)

Planul rectifiant are ca şi normală normala principală:

\vec n = \vec b \times \vec \tau

Din cele de mai sus rezultă că \vec n \! este paralel cu:

\left (  \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right ) \times \overrightarrow {r'(t)} = \begin{vmatrix}  \vec i & \vec j & \vec k \\ \begin{vmatrix} y'(t) & z'(t) \\ y''(t) & z''(t)  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}  z'(t) & x'(t) \\ z''(t) & x''(t)  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}  x'(t) & y'(t) \\ x''(t) & y''(t) \end{vmatrix} \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \end{vmatrix} =

=A \vec i + B \vec j + C \vec k

Prin urmare, ecuaţia planului rectificant este:

A(X-x(t)) + B(Y-y(t)) + C(Z-z(t)) = 0 \!     (EPR))

Iar ecuaţiile normalei principale sunt:

\frac {X-x(t)}{A} = \frac {Y-y(t)}{B} = \frac {Z-z(t)}{C}     (ENP)

Calcului curburii şi torsiunii Edit

Teorema 6.1: Dacă curba \Gamma \! este dată vectorial:

\overrightarrow {r(t)} = x(t) \vec i + y(t) \vec j + z(t) \vec k, \; t \in [a, b]

atunci:

K = \frac {\left | \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right | }{\left | \overrightarrow {r'(t)} \right |^3}


T = \frac {\left ( \overrightarrow {r'(t)}, \overrightarrow {r''(t)}, \overrightarrow {r'''(t)} \right )}{\left | \overrightarrow {r'(t)} \times \overrightarrow {r''(t)} \right |^2}


Teorema 6.2: Dacă curbura unei curbe este identic nulă, atunci curba este un segment dintr-o dreaptă.

Teorema 6.3: Dacă torsiunea unei curbe este identic nulă, atunci curba este o curbă plană, planul curbei fiind planul osculator într-un punct arbitrar.


Surse:

Also on Fandom

Random Wiki