Criteriul lui Abel

Niels Henrik Abel pe o marcă poştală

Criteriul lui Abel (care poartă numele matematicianului Niels Henrik Abel) se referă la serii de numere.

Serii de numere

Astfel, dacă seria $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \!$ este convergentă şi dacă numerele $\alpha_n \!$ formează un şir monoton şi mărginit, atunci seria:

$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n b_n$ este convergentă.

Serii de funcţii

Seria $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n (x) b_n (x)$ este uniform convergentă pe o mulţime $\mathcal X \!$ dacă seria $\sum_\alpha ^\infty b_n(x)$ converge uniform pe $\mathcal X \!$ iar funcţiile $\alpha_n (x), \; n = 1, 2, \cdots ,$ pentru orice $x\in\mathcal{X}$ formează un şir monoton care este uniform mărginit pe $\mathcal X \!$.

În mod similar se poate formula criteriul lui Abel pentru o serie de integrale:

$\int_\alpha^\infty \alpha (n, x) b (n, x)dn ,$

care depind de un parametru $x \in \mathcal X. \!$

Observaţii

• Criteriul lui Dedekind - o îmbunătăţire a criteriului lui Abel
• Criteriul lui Dirichlet
• Transformarea lui Abel

Resurse

• Springer Online Reference, Encyclopaedia of Mathematics