Fandom

Coman Wiki

Coordonate polare

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Figura 1.11: Sistemul de coordonate polare plane 1.5 Coordonate polare plane Variabilele care descriu poziµia mobilului în sistemul de coordonate polare plane sunt distanµa pâna la origine, notata ? ³i unghiul ?, masurat în raport cu o axa de referinµa arbitrar aleasa (în cazul nostru Ox - Fig.1.11). Legatura dintre coordonatele polare plane ³i cele carteziene se exprima sub forma: x = ? cos ?; (1.40) y = ? sin ?. Versorii sistemului de coordonate polare plane sunt eˆ? ³i eˆ?. Sa consideram, în cele ce urmeaza, o deplasare in?nitezimala a mobilului din punctul P1 in punctul P2 (Fig.1.12). Vectorul deplasare corespunzator intervalului de timp dt este notat în cu d~r = --? OP2 - --? OP1. Aceasta deplasare in?nitezimala reala ~ dr poate ? considerata ca o rezultanta unei succesiuni de deplasari virtuale dupa doua direcµii perpendiculare, ~ dr? ³i ~ dr?, în decursul carora variaza, pe rând, doar una dintre coordonate. Ca urmare, vectorul deplasare

Figura 1.12: Vectorului deplasare in?nitezimala d~r se obµine, aplicând regula triunghiului, ca o suma de deplasari in?nitezimale, în care variaza mai întâi ?, apoi ?. in?nitezimala poate ? scris sub forma: d~r = d~r? + d~r?, (1.41)

în care: • d~r? (? constant, ?-variabil) reprezinta o deplasare in?nitezimala de unghi d?, pe un arc de cerc de raza ?; • d~r? (? constant, ?-variabil) reprezinta o deplasare in?nitezimala de-a lungul lui ~?(t+?t) (translaµie de lungime d?). Ca urmare, µinând cont de versorii direcµiilor de deplasare, se obµine: d~r = ?d?eˆ? + d?eˆ?. (1.42) Prin împarµirea la intervalul de timp in?nitezimal, dt, se obµine: ~v = d~r dt = ? d? dt eˆ? + d? dt eˆ? = ???eˆ? + ??eˆ? = v?eˆ? + v?eˆ?. (1.43) S-au obµinut doua componente ale vitezei: • o componenta azimutala, v?, determinata de variaµia vectorului de poziµie doar ca orientare; • o componenta radiala, v?, determinata de variaµia vectorului de poziµie doar ca marime. v? = ??,? (1.44)

Sa calculam, în continuare, expresia acceleraµiei în coordonate polare plane. Spre deosebire de coordonatele carteziene, aici versorii eˆ? ³i eˆ? î³i schimba orientarea odata cu deplasarea punctului material pe traiectorie (Fig.1.12). Prin urmare: ~a = d~v dt = d(???eˆ? + ??eˆ?) dt = ????eˆ? + ??¨eˆ? + ??? . eˆ? +¨?eˆ? + ?? . eˆ? . (1.46) Vom calcula derivata versorilor apelând din nou la considerente geometrice (Fig.1.13). Figura 1.13: Determinarea geometrica a versorilor deplasare in?nitezimala Urmarind modul în care se schimba direcµia celor doi versori pentru o deplasare in?nitezimala a particulei, se constata ca: deˆ? = |eˆ?| d?eˆ?; (1.47) deˆ? = |eˆ?| d?(-eˆ?). (1.48)

Figura 1.14: Un element de suprafaµa în coordonate polare plane. Derivata ?ecarui versor se obµine prin simpla împarµire la intervalul de timp, dt : . eˆ? = deˆ? dt = |eˆ?| d?eˆ? dt = d? dt eˆ? = ??eˆ?; (1.49) . eˆ? = deˆ? dt = |eˆ?| d?(-eˆ?) dt = - d? dt eˆ? = -??eˆ?. (1.50) Dupa cum se observa, derivata ?ecarui versor este un vector de marime egala cu viteza de variaµie a coordonatei unghiulare ³i este orientata perpendicular faµa de direcµia celuilalt versor (Fig.1.13). Revenind la formula acceleraµiei se obµine, dupa aranjarea termenilor, expresia ?nala: ~a = (¨? - ??? 2 )ˆe? + (2 ???? + ??¨)ˆe?. (1.51) Ca ³i viteza, acceleraµia are doua componente, radiala ³i azimutala (sau transversala). Fiecare dintre termenii care apar în expresia acceleraµiei sunt determinaµi de o anumita variaµie a vectorului viteza. De exemplu: • termenul ?¨eˆ? - datorat variaµiei vitezei în marime; • termenul 2 ????eˆ? (numit acceleraµie Coriolis) - datorat deplasarii neuniforme a corpului pe o traiectorie curbilinie, de raza variabila;

• termenul ??¨eˆ?- datorat variaµiei în timp a vitezei unghiulare (vezi secµiunea urmatoare a acestui capitol); • termenul ??? 2 eˆ?- (acceleraµie centripeta) - datorat variaµiei vitezei ca orientare. Un element de suprafaµa (o suprafaµa in?nitezimala) are, în coordonate polare plane, (Fig.1.14) expresia: dA = d?  ?d?. (1.52)

Also on Fandom

Random Wiki