Fandom

Coman Wiki

Coordonate carteziene

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

În sistemul de coordonate carteziene, vectorul de poziţie al unui punct, P , este descris prin coordonatele sale x, y, z \!, obţinute prin proiecţia lui P pe cele trei plane reciproc perpendiculare: \vec r = \vec r (x, y, z). (1.27) Denumirea de coordonate carteziene vine de la numele lui René Descartes.[1] . În Fig.1.9, punctul P se găseşte la intersecţia a trei plane imaginare, reciproc perpendiculare, x = x_1, \; y = y_1, \; z = z_1 \!. Fiecare dintre acestea sunt paralele cu planele triedrului drept Oxyz. Vom atribui apoi fiecăreia din axele triedrului Oxyz câte un vector-unitate, orientat în sensul creşterii lui x, y, şi, respectiv, z. Aceşti vectori-unitate, pe care noi îi vom nota cu (\hat x, \hat y, \hat z)[2] , se numesc versori (Fig.1.9).

Sistem de coordonate cartezian.png

Figura 1.9: Sistemul de coordonate cartezian (Oxyz) şi versorii (\hat x, \hat y,\hat z)

Deoarece orice vector poate fi exprimat ca o combinaţie liniară de aceşti trei versori, ei formează baza sistemului. Baza sistemului respectă regula burghiului drept, adică:

\hat x \times \hat y = \hat z.   (1.28)

De exemplu, vectorul de poziţie se poate exprima prin relaµia:

\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z.   (1.29)

Vom găsi expresiile vitezei şi acceleraţiei, pornind de la expresia unei deplasări elementare, \Delta \vec r: \Delta \vec r =  \vec r_2 - \vec r_1 = (x_2 - x_1) \hat x + (y_2 - y_1) \hat y + (z_2 - z_1) \hat z = \Delta x \hat x + \Delta y \hat y + \Delta z \hat z.   (1.30)

Această expresie se poate găsi pe cale geometrică, considerând că orice deplasare reală reprezintă suma a trei deplasări succesive independente, în decursul cărora se modifică doar una din coordonate. Conform (Fig.1.10), se observă că:

\Delta \vec r = \Delta \vec r_x + \Delta \vec r_y + \Delta \vec r_z,   (1.31)

unde \Delta  \vec r_x, \Delta  \vec r_y , \Delta  \vec r_z reprezintă deplasări "virtuale", efectuate pe direcţiile x, y, şi z. Trecând la limita timpilor de observaţie foarte mici, \Delta t \rightarrow 0, expresia devine:

d \vec r = dx \cdot \hat x + dy  \cdot \hat y + dz  \cdot \hat z.   (1.32)

Făcând raportul dintre elementul de deplasare infinitezimală şi intervalul de timp corespunzător acesteia, se obţine expresia vitezei:

\vec v = \frac {d \vec r}{dt} =  \frac {dx}{dt} \hat x + \frac {dy}{dt} \hat y + \frac {dz}{dt} \hat z   (1.33)
Descompunerea vectorului deplasare.png

Figura 1.10: Descompunerea vectorului deplasare \Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1 după cele trei direcţii independente

Mărimea vectorului viteză este:

v= sqrt{v_x^2 +v_y^2 + v_z^2}   (1.34)

În mod similar se pocedează pentru acceleraµie:

Nu s-a putut interpreta (Conversie în PNG eșuată; verificați corectitudinea instalării sistemelor LaTex sau dvipng (sau dvips + gs + convert)):
  (1.35)

= ¨xxˆ + ¨yyˆ + ¨zzˆ = axxˆ + ayyˆ + azz.ˆ (1.36)

Mărimea vectorului acceleraµie este:

Nu s-a putut interpreta (Conversie în PNG eșuată; verificați corectitudinea instalării sistemelor LaTex sau dvipng (sau dvips + gs + convert)):
  (1.37)

Un volum elementar dV în coordonate carteziene poate fi scris ca un produs de trei deplasări infinitezimale reciproc perpendiculare (Fig.1.10):

\Delta V = dx \cdot dy \cdot dz, (1.38)

iar un element de suprafaţă în coordonate carteziene va avea expresia:

dA_z = dx \cdot dy; dA_x = dy \cdot dz; dA_y = dz \cdot dx.   (1.39)

Folosirea coordonatelor carteziene este preferată din motive de simplitate matematică. Aceasta se datorează ³i faptului că, fiind mereu orientaµi de-a lungul axelor triedrului drept, versorii x,ˆ yˆ ³i zˆ rămân constanµi în orientare ³i, ca urmare, derivatele lor în raport cu timpul sunt nule. În funcµie de simetria mi³cării ³i de datele concrete ale problemei de studiat, putem recurge ³i la alte tipuri de sisteme de coordonate. Dintre acestea, în cele ce urmează, ne vom referi la coordonatele legate de mobilul în mi³care.

Note Edit

  1. René Descartes (1595-1650), matematician, fizician şi filosof francez, cunoscut şi sub numele său latinizat – Cartesius. Dintre contibuţiile sale cel mai importante în domeniul cunoaşterii, pot fi amintite introducerea sistemului de coordonate carteziene şi a geometriei analitice. Ca filosof, a marcat ruperea de scolastici, introducând principiile cunoaşterii raţionale. În două din cele mai importante cărµi ale sale, Discurs asupra metodei (1637) şi Meditaţii (1641), a încercat să extindă metodele cunoaşterii matematice în toate domeniile cunoaşterii. Este autorul celebrei aserţiuni "Cogito, ergo sum" (Cuget, deci exist). O scurtă biografie a lui R. Descartes poate fi găsită la adresa de web: history/Mathematicians/Descartes.html MacTutor Biography
  2. Uneori ei se notează cu \hat i, \hat j, \hat k, sau \hat e_x, \hat e_y, \hat e_z

Also on Fandom

Random Wiki