Fandom

Coman Wiki

Şir Lucas

749pages on
this wiki
Add New Page
Talk0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Şirurile lui Fibonacci şi Lucas sunt definite prin recurenţele următoare:

 F_n = F_{n-1} + F_{n-2},  \; \; \; F_1 = F_2 = 1

 L_n = L_{n-1} + L_{n-2}, \; \; L_1 = 1 şi  L_2 = 3 \!

Avem în tabelul urmator primele 12 valori :

n 1 23456789101112
Fn 1123581321345589144
Ln13471118294776123199322


Formulele lui Binet Edit

Notăm cu a şi b rădăcinile ecuaţiei  X^2 - X -1 =0  \!:

 a =\frac {1+ \sqrt 5}{2} şi    b =\frac {1- \sqrt 5}{2}

Atunci avem exprimarea următoare pentru Fn şi Ln:

 F_n = \frac {a^n - b^n}{a-b} şi  L_n = a^n + b^n  \!;

Aceasta se întampla deoarece aceste formulele verifica recurentele din definitia sirurilor Fn şi Ln cat si conditiile initiale .

Legătura cu funcţiile hiperbolice ch şi sh Edit

Folosim notaţia:

\left [  A, B \right ]_n = \left\{ \begin{array}{lr} A, daca \; n \; este \; impar \\ B, daca \; n \; este \; par \end{array} \right.

Mai notăm şi:

\ln a = \alpha, \; \alpha n = x, \; \alpha m = y \!.

Cu aceste notaţii putem scrie următoarele identităţi:

 \left\{ \begin{array}{lr} 
\cosh kx = \frac {1}{2} \left [ \sqrt 5 F_{kn}, L_{kn}  \right ]_{kn}

\\  \\

\sinh kx = \frac {1}{2} \left [ L_{kn}, \sqrt 5 F_{kn}   \right ]_{kn}

\\ \\  

\cosh (x+y) = \frac {1}{2} \left [ \sqrt 5 F_{n+m}, L_{n+m}  \right ]_{n+m}

\\ \\

\sinh {x+y} = \frac {1}{2} \left [  L_{n+m}, \sqrt 5 F_{n+m} \right ]_{n+m}

\end{array} \right.

(R 0)


In ultimele 2 formule se poate înlocui semnul + al lui y cu semnul - odata cu semnul lui m. Formulele se pot verifica direct analizandu-le dupa paritatea sau imparitatea lui k, n, m. Orice identitate cu functii hiperbolice care au un argument de forma kx + k' y \! produce în baza substitutiilor din (R 0) una sau mai multe relatii în care intervin sirurile  F_n \! şi L_n \!.

Aplicaţii Edit

Aplicaţia 1 Edit

Considerăm identitatea  \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, care pe baza substitutiilor din (R 0) produce urmatoarele 2 identitati:

  • pentru n impar:  \frac{5 F^2_n}{4} - \frac{L^2_n}{4} = 1
  • pentru n par:  \frac{L^2_n}{4} - \frac{5 F^2_n}{4} = 1

De aici rezultă:  L^2_n - 5 F^2_n = 4 (-1)^n   (R 1)

pentru orice  n \in \mathbb{N}

Aplicaţia 2 Edit

Aplicaţia 3 Edit

Aplicaţia 4 Edit

Aplicaţia 5 Edit

Aplicaţia 6 Edit

Sursa: Şirurile lui Fibonacci şi Lucas.pdf

Also on Fandom

Random Wiki